利用导数判断函数零点个数及其应用

"(2021-2022年）专题资料完美版第三章 第2节 第4课时 导数与函数的零点.pptx" 本资料详细讲解了利用导数判断函数零点个数的方法及其应用。在导数与函数的零点这一主题中，主要涉及两个关键考点： 考点一：判断零点的个数 在解决此类问题时，通常会通过构造辅助函数来分析原函数的零点。例如，对于一个二次函数f(x)，如果已知其不等式f(x)≤0的解集，可以利用二次函数的性质来确定函数的解析式。一旦得到解析式，通过求导数找到函数的极值点，再结合函数图像的单调性以及端点值的符号，可以确定零点的个数。例如在给定的例子中，函数f(x) = ax^2 - 2ax - 3a的最小值为-4，通过设定a的正向，我们可以找到函数的解析式f(x) = x^2 - 2x - 3。进一步，可以通过导数分析函数g(x) = f(x) - g'(x)的零点个数，利用单调性、极值点以及零点存在性定理来解决问题。 考点二：已知函数零点个数求参数的取值范围 若函数f(x) = ax + xlnx在x=1处取得极值，首先我们需要找到函数的导数f'(x) = a + ln(x) + 1，并在x=1处使其等于0，以确定参数a的值。解得a=-1。接着，若要使函数y=f(x)-m-1有两个不同零点，即f(x)=m+1有两个解，需要分析函数f(x)的单调性、极值点以及端点值，以确定m的取值范围。函数f(x)在定义域(0, +∞)上的单调性由导数f'(x)决定，若f'(x)在某些区间上变号，那么这些区间之间就会形成极值点。通过分析f'(x)的符号变化，可以确定函数的单调区间，从而确定m的取值范围。 这两个考点都是利用导数的性质来研究函数的零点问题，这在解决复杂的数学问题时是非常重要的工具。通过分析函数的单调性、极值点以及端点值，可以有效地判断和求解函数零点的个数，进而解决相关的参数取值范围问题。在实际解题过程中，需要灵活运用这些方法，结合具体题目进行细致的计算和分析。