"何晓群版《应用回归分析》第四版课后答案"
回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量（通常表示为y）与一个或多个自变量（x1, x2, ..., xp）之间的关系。何晓群版《应用回归分析》第四版深入探讨了这一主题。在回归模型中，随机误差项ε是非常关键的概念，它代表了模型未能完全捕捉到的变量间关系的不确定性，以及由于认知限制和其他偶然因素导致的变异性。
线性回归模型的基本假设是：
1. 解释变量（自变量）是固定的，不是随机的，而响应变量（因变量）是随机的。
2. 随机误差项ε有零均值，且所有误差项的方差相等（等方差性），并且它们之间互不相关。
3. ε假设服从正态分布，并且是独立的。
4. 样本数量n必须大于解释变量的数量p。
一元线性回归分析中，有四个基本假设：
1. X是确定性变量，Y是随机变量。
2. 随机误差项ε有零均值，同方差且不序列相关。
3. ε与X不相关。
4. ε服从正态分布，具有零均值和同方差。
书中的证明部分涉及了回归分析中的重要计算和性质，如误差项的性质、参数估计的无偏性、平方和分解公式SST=SSE+SSR，以及各种统计检验的关系，如F检验与t检验之间的关系，以及R²与RSS和TSS的关系。这些证明展示了回归分析中统计推断的基础。
例如，证明(ei=0)和(eiXi=0)涉及线性回归中残差与自变量的独立性，这证明了回归系数的估计是无偏的。同样，证明β0的无偏估计量涉及期望值的计算，确保估计值不会系统地偏离真实值。平方和分解公式则揭示了总变差如何被残差平方和（SSE）和回归平方和（SSR）所分解，反映了模型解释变量对数据变异性的贡献。
至于决定系数R²，虽然一个高R²值（如0.9801）通常表明模型有很强的解释能力，但并不能单凭此判断模型是否理想。在小样本和大量自变量的情况下，即使R²很高，模型也可能过度拟合，因此需要结合其他指标（如调整R²，AIC，BIC等）和模型诊断来评估模型的性能。
何晓群版《应用回归分析》提供了回归分析的全面理解，包括理论基础、假设、估计方法以及模型验证的统计工具。这是一份宝贵的学习资源，对于理解和应用回归分析技术至关重要。
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