有限元分析基础：网格加密与精度估计

"基于网格加密的求解精度估计-触摸感应技术及其应用-基于capsense" 在有限元分析中，网格加密是一种常用的提高求解精度的方法。通过对计算区域的网格进行细化，可以减小单元的尺寸，从而提升解的精确度。在描述的典型例题中，平面问题的位移场被展开为Taylor级数，公式(5-114)展示了这一过程。当单元的尺寸为h量级时，如果位移函数采用p阶完全多项式，误差将是O(h^p)量级。 以平面3节点三角形单元为例，其插值函数为线性，即p=1，因此位移解u的误差为O(h)量级，这意味着每次将网格细化为原来的一半（即h减半），u的误差会减小到原来的1/4。这种现象称为二次收敛，因为收敛速度为2（s=2）。同样，应变、应力和应变能的误差也可通过类似方式估计。应变是位移的导数，其误差为O(h)量级；应变能是应变的平方项，故误差为O(h^2)量级。 对于满足完备性和协调性条件的协调单元，在单元尺寸趋近于零时，有限元分析结果单调收敛。这使得我们可以通过两次网格划分的结果进行外推，以估算准确解。公式(5-115)和(5-116)给出了这一估计方法，对于平面三节点三角形单元，外推公式为u_acc = (u1 - 4/3 * u2)。这种方式有助于评估网格细化后的解接近真实解的程度。 除了网格离散误差，实际的有限元分析还会受到计算机数值运算误差的影响。在有限元分析基础教程中，曾攀教授详细介绍了有限元分析的基本原理，包括有限元方法在杆梁结构、连续体结构分析中的应用，以及静力结构、结构振动、传热过程和弹塑性材料分析的典型实例。教程内容深入浅出，实例丰富，适合不同层次的学习者，尤其是对MATLAB和ANSYS建模分析感兴趣的读者。 有限元分析中基于网格加密的求解精度估计是通过控制单元尺寸和利用收敛性质来逐步提高计算精度的过程。在实践中，理解误差来源并合理选择网格细化策略对于获取更精确的解决方案至关重要。