离散时间信号的非线性问题：W与w的严重非线性与分段常数滤波器畸变

在《数字信号处理》程佩青第三版课件中，章节讨论了离散时间信号与系统的概念，特别是关于离散时间信号——序列的部分。离散时间信号的特点是自变量取离散值，而函数值连续，它是通过对连续时间模拟信号进行等间隔采样得到的。采样间隔T决定了序列的离散性，如 xa(nT)，其中n为整数，非整数情况下没有定义。 课程强调了序列的不同表示方法，包括公式表示法、图形表示法和集合符号表示法。常见的两种序列被重点介绍：单位抽样序列和单位阶跃序列。单位抽样序列，记作δ(n)，在n=0时函数值为1，其他非零整数n处为0；单位阶跃序列，记作u(n)，在n=0时函数值为0，随后突然跳转到1。这两个序列在信号处理中具有基础作用，它们的关系可以通过将n减去一个整数k来体现，即u(n-k) = u(m)。 此外，课件提到了模拟滤波器的缺点，特别是在零频率附近，W与w之间的非线性可能导致信号失真。为了保证滤波器的性能，通常要求模拟滤波器的幅频响应呈现出分段常数特性，这样即使经过转换成为数字滤波器，临界频率点的响应仍然保持这种特性。然而，线性相位模拟滤波器在数字化后可能会变为非线性相位数字滤波器，这可能影响滤波的精确性和稳定性。 线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统是课程的核心内容之一，学生需要理解这些概念并学会判断一个系统是否满足这些性质。对于线性移不变系统，其因果性和稳定性是重要的设计准则，可以通过分析系统的线性代数特征来确定。 课程还涉及常系数线性差分方程的解析，以及如何用迭代法求解单位抽样响应。对于连续时间信号，奈奎斯特抽样定理是关键知识点，它规定了抽样频率必须至少是信号最高频率的两倍，以避免频谱混叠。此外，抽取过程和信号恢复也是讨论的重点。 这门课程深入浅出地介绍了离散时间信号处理的基础理论和实践技巧，包括信号的表示、常用序列的理解、滤波器设计原则以及系统分析方法，为后续的数字信号处理技术打下坚实的基础。