构建拉格朗日多项式与复化辛普森公式应用实例

本资源是一份数值分析课程的开卷试题文档，主要涵盖了多项式构造、定积分计算以及算法设计方面的内容。以下是详细的知识点解析： 1. 拉格朗日插值多项式: 这部分要求学生构造一个三阶拉格朗日多项式 \( P_3(x) \)。首先，给出了四个基函数的定义，它们是 \( L_1(x) = (x+1)(x-2) \), \( L_2(x) = (x-3)(x+1) \), \( L_3(x) = (x-3)(x-2) \), 和 \( L_4(x) = (x-1)(x+3) \)。学生需要利用这些基函数来构建多项式，通过乘法运算和加权系数的形式得到 \( P_3(x) \)。题目要求计算 \( P_3(-1) \)，这涉及代入 \( x=-1 \) 的多项式值。 2. 复化辛普森公式: 对于定积分 \( \int_{0.5}^{1} f(x) dx \)，题目采用了复化辛普森公式进行近似计算。该公式将区间 [0.5, 1] 分成四个子区间，每两个子区间共享一个节点。然后，学生需要计算每个子区间内函数 \( f(x) \) 的近似值，并按照公式 \( \frac{h}{3}(f(a)+4f(c)+f(b)) \) 计算总和，其中 \( h \) 是每个子区间的宽度，\( a, b, c \) 是子区间的节点。同时，还需给出误差估计，通常涉及计算公式本身的误差项。 3. 算法设计：Gauss-Seidel迭代法: 数值分析中的一个重要主题是迭代方法，如Gauss-Seidel法，用于求解线性方程组。题目要求学生描述Gauss-Seidel迭代法的计算过程，这是一种迭代求解线性系统的方法，通过逐步更新方程组的解直到满足预设精度 \( e \)。MATLAB代码示例展示了如何实现这一算法，包括初始化解向量 \( x_0 \)，循环迭代更新解向量，直到满足停止条件 \( ||x_n - x_{n-1}|| < e \)。 总结，这份试题着重考察了数值分析的基础概念，包括拉格朗日插值、定积分的数值求解以及迭代方法的原理和编程应用。解答这类问题不仅需要掌握理论知识，还需要熟练运用计算技巧和编程能力。