二进制优化的多重背包问题C++解法

多重背包问题 II 是一个经典的动态规划算法问题，在计算机科学中被广泛应用于资源分配和决策制定中。在给定的代码中，它解决的是一个二维背包问题，其中物品具有不同的重量（w）和价值（v），而背包有容量限制（m）。问题的目标是在不超过背包总容量的情况下，选择具有最高价值的物品组合。 **题目详解：** 该题目描述的是多重背包问题的版本II，它不同于普通的背包问题（如零一背包），在这个版本中，每个物品可以被取任意次，但每取一次，物品的价值会减半，而重量保持不变。这就意味着，对于每个物品，我们需要考虑其不同数量取值（0、1、2、...）对最终价值的影响。 **算法分析：** 1. **输入与预处理**： - 输入包括物品的数量n，背包的容量m，以及每个物品的价值v、重量w和最大可取次数s。 - 使用vector存储物品信息，结构体`good`包含两个成员：w和v，分别代表重量和价值。 2. **二进制处理优化**： - 对于每个物品，利用二进制搜索的思想，将物品的最大可取次数分解成2的幂次，这样可以将物品取1、2、4、...次的情况都覆盖到，同时减少了计算量。如果剩余的次数s大于0，说明还能取一次，将最后剩余的次数单独添加。 3. **动态规划求解**： - 创建一个数组f，用于存储当前背包容量下，可以达到的最大价值。f[i]表示背包容量为i时的最大价值。 - 遍历所有物品及其可能取值，对于每个物品，将其所有可能的取值与当前背包容量进行匹配，更新f数组。具体地，对于每个物品的取值t.v，检查是否能放入背包（即f[j-t.v]表示没有取这个物品时背包的价值），然后取较大者作为新价值（f[j] = max(f[j], f[j-t.v] + t.w)）。 4. **输出结果**： - 最后，数组f[m]中存储的就是在背包容量为m时，所能获取的最大价值，将其输出即可。 **总结**： 多重背包问题II是通过二进制搜索和动态规划相结合的高效算法，解决了在物品重量不等但价值随数量减半的情况下，如何在不超过背包容量的情况下获取最大价值的问题。理解并掌握这个算法，对于理解和解决实际中的资源分配和优化问题非常有帮助。