2.5 逆矩阵
1 若方阵 A 有逆，则既有 A
−1
A = I 又有 AA
−1
= I。
2 检验可逆性的算法是消元法：A 必须有 n 个（非零）主元。
3 可逆性的代数检验是 A 的行列式：det A 必须非零。
4 可逆性的方程检验为 Ax = 0：x = 0 必须是唯一解。
5 若 A 和 B 都可逆，则 AB 也可逆： (AB)
−1
= B
−1
A
−1
。
6 AA
−1
= I 是关于 A
−1
的 n 个列的 n 个方程。高斯—若尔当将 [A I] 消元为 [I A
−1
]。
7 本书最后一页提供了方阵 A 可逆的 14 个等价条件。
假设 A 是个方阵。我们寻找一个相同大小的“逆矩阵”A
−1
，使得 A
−1
乘以 A 等于 I。无论 A 做
什么，A
−1
总是反着来。它们的积是单位矩阵——即对向量什么都不做，因此 A
−1
Ax = x。然而 A
−1
可能不存在。
一个矩阵的主要作用是与一个向量 x 相乘。将 Ax = b 乘上 A
−1
得出 A
−1
Ax = A
−1
b。这就是
x = A
−1
b。乘积 A
−1
A 就像是乘以一个数然后再除以这个数。若数非零则它有倒数——矩阵更复杂也
更有趣。矩阵 A
−1
称为“A 逆。”
定义 若存在一个“逆反”A 的矩阵 A
−1
，则矩阵 A 是可逆的：
双边逆 A
−1
A = I 与 AA
−1
= I (1)
不是所有矩阵都有逆。这是我们问的关于方阵的第一个问题：A 可逆么？我并不是说我们直接去计
算 A
−1
。在大多数问题中我们从不去计算它！以下是 6 个关于 A
−1
的“说明”。
说明 1 当且仅当消元产生 n 个主元时存在逆（允许行交换）。消元法解 Ax = b 而不显式的运用矩阵
A
−1
。
说明 2 矩阵 A 不能有两个不同的逆。假设 BA = I 并且 AC = I。那么按照这个“括号证明”，有
B = C：
B(AC) = (BA) C 得 BI = IC 或 B = C (2)
这证明左逆 B（从左边乘）与右逆 C（从右边乘以 A 以得 AC = I）必是同一矩阵。
说明 3 若 A 是可逆的，则 Ax = b 仅有的一个解是 x = A
−1
b：
A
−1
乘以 Ax = b。 那么 x = A
−1
Ax = A
−1
b。
说明 4 （重要）假设有一非零向量 x 使得 Ax = 0。那么 A 不能有逆。没有矩阵能将 0 带回到 x。
若 A 可逆，则 Ax = 0 只能有零解 x = A
−1
0 = 0。
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Eric_Saltfish
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