有限区间内独立随机变量和的分布研究

"该文章是北京师范大学学报(自然科学版)2010年的一篇论文，主题涉及独立随机变量和的分布，特别是当这些变量的分布为有限区间的截尾分布时，如均匀分布、截尾指数分布和截尾T分布。作者通过有限测度的广义加法公式探讨了如何求解n个独立同分布随机变量和的分布。" 在概率统计领域，研究独立随机变量的和的分布是十分关键的，因为它与样本均值的分布紧密相关。通常，如果总体分布是常见的，如正态分布或指数分布，那么这些随机变量的和的分布也有已知的结果。然而，在实际问题中，随机变量往往在有限区间内取值，例如[0, 1]上的均匀分布或者截尾分布，这就使得计算和的分布变得复杂。 本文的作者王颖苗提出了一种方法，利用有限测度的广义加法公式来处理这个问题。这个公式对于处理取值在[0, α]区间内的具有截尾分布的随机变量特别有用。截尾分布是指原本分布被限制在特定区间内的部分，例如，截尾指数分布就是指数分布仅保留了大于零的部分。 假设X1, X2, ..., Xn是取值在[0, α]上的独立同分布的随机变量，它们的分布密度f(x)可以表示为ρ(X)/Z的形式，其中ρ(X)是另一个实随机变量的分布密度，Z是归一化常数，确保密度函数的积分等于1。当ρ(X)在[0, α]上非负且可积时，这样的f(x)称为ρ(X)的截尾分布密度。 目标是找到这些随机变量和T=X1+X2+...+Xn的分布，即计算对于任何t∈R的概率P(T≤t)。作者通过定义在R^n上的σ代数和相应的测度μ，给出了一种计算这种概率的方法。具体公式为μ(A)=∫_A f^n(x1,...,xn) dx1...dxn，其中A是σ代数中的任意元素，f^n(x1,...,xn)是n个变量的联合密度函数。 论文进一步探讨了当总体分布为均匀分布、截尾指数分布和截尾T分布时，n个随机变量和的分布。这些具体的案例分析有助于深入理解广义加法公式的应用，并为解决实际问题提供了实用的工具。 这篇论文提供了一个通用的框架来计算有限区间内独立同分布随机变量和的分布，特别关注了截尾分布的情况，这对于处理现实世界中的统计问题具有重要意义。