图形变换与矩阵表示——以CAD2007为例

"比例变换是二维图形几何变换的一种，它涉及使用变换矩阵对图形进行缩放。变换矩阵的形式为 ，其中(a, b, c, d)是矩阵元素，(dx, dy)是平移量。当矩阵为恒等变换矩阵 (a=1, b=0, c=0, d=1, dx=0, dy=0) 时，图形不会发生变化。等比变换是特殊的比例变换，当ad-bc=1且dx=dy=0时，图形会等比例放大或缩小。如果a和d小于1，则图形缩小；大于1则放大。当a和d为负值时，图形不仅大小改变，还会翻转。此外，章节还介绍了二维图形的其他基本变换，如对称、错切、旋转和平移，以及通过齐次坐标实现的变换。" 在计算机图形学中，图形变换是关键概念，用于创建、修改和操纵图形对象。第六章“图形变换”详细探讨了这个主题，分为三个部分：图形变换的方法、二维图形几何变换和三维图形几何变换。在图形变换的方法中，重点讲述了如何用点的集合和矩阵表示图形，以及如何通过点的变换来实现图形的变换。 点的坐标通常由(x, y)在二维空间中或(x, y, z)在三维空间中定义。图形变换可以视为这些点坐标的改变，这种变化可以通过特定的变换矩阵来执行。例如，在二维空间中，一个点(x, y)经过变换矩阵T=(a, b, c, d, dx, dy)作用后，新的坐标(x', y')会按照以下方式计算： \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} \] 比例变换是一种基础变换，其中矩阵T具有形式T=(λ, 0, 0, λ, 0, 0)，其中λ是缩放因子。如果λ>1，图形会放大；如果0<λ<1，图形会缩小。当λ<0时，图形不仅大小变化，还会沿x轴或y轴翻转，具体取决于负号出现在哪个分量上。 除了比例变换，还有其他几种基本变换，如对称变换（沿某直线的镜像反射），错切变换（沿x轴或y轴拉伸），旋转变换（绕某个点转动），平移变换（沿x轴和y轴移动），以及使用齐次坐标进行的更复杂的变换。这些变换可以通过组合多个基本变换矩阵来实现更复杂的图形操作。 比例变换是二维图形几何变换的一个重要方面，它通过变换矩阵来控制图形的缩放。结合其他基本变换，可以实现丰富的图形操作，这是计算机图形学中的核心内容，广泛应用于游戏开发、图像处理、CAD设计等领域。