使用追赶法解决轴对称圆柱体电势与电场分布的数值模拟

"电场与电势的分布求解方法及程序实现" 在电磁学中，电场和电势是描述电荷分布导致的空间电荷效应的关键量。本资源主要介绍了如何利用数值模拟方法求解轴对称圆柱体内的电势和电场分布。这种方法基于麦克斯韦方程组，通过泊松方程来表达电势和电场的关系。 首先，我们来看数学模型。在柱坐标系下，泊松方程表述为： \[ \nabla^2 V(r,\theta,z) = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \] 其中，\( V \) 是电势，\( \rho \) 是电荷密度，\( \epsilon_0 \) 是真空电容率。由于问题具有轴对称性，可以将三维问题简化为一维问题，仅考虑 \( r \) 方向的变化。 电势与电场的关系由静电学的基本原理给出： \[ \mathbf{E} = -\nabla V \] 边界条件通常设定为无限远处电势为零，即： \[ V(r \to \infty) = 0 \] 接下来是模型的离散化。这里采用的是有限差分法，将连续区域划分为均匀网格。对于电势的一阶偏导数，可以使用一阶三点法，而二阶偏导数则用中心差分近似。这样，泊松方程就转换为一个线性方程组，其中电荷密度的假设是均匀的或已知的函数形式。 求解这个线性方程组，我们可以应用追赶法。追赶法是一种特别适用于处理对角占优线性方程组的方法。在本案例中，方程组呈三对角线形式，因此追赶法尤为适用。 程序部分给出了一个FORTRAN子程序，用于解决这种类型的问题。它接受一系列参数，如网格点数、边界值和系数函数，然后使用追赶法来迭代求解电势分布。程序的核心是构建并求解线性系统的部分，其中涉及到矩阵 \( A \) 和向量 \( B \) 的初始化，以及GSL库（GNU Scientific Library）的调用来执行求解步骤。 具体到电场的计算，非均匀网格差分被用于处理非均匀电荷分布。同样，电场的一阶偏导数使用了一阶三点法，而二阶偏导数则采用中心差分。电场的计算也遵循类似的离散化和追赶法求解过程。 这份资源提供了从理论到实践的一个完整例子，解释了如何运用数值方法求解电场和电势分布，特别是对于轴对称圆柱体的问题。这对于学习数值计算方法和电磁场理论的学生，或者需要进行相关计算的工程师来说，是非常有价值的参考资料。