中科大算法设计与分析历年试题解析

"这份资料是中科大算法设计与分析课程的历年试卷及答案，适合研究生学习和复习。" 本文将详细解析试卷中的算法分析部分，涵盖概率算法、Las Vegas算法和Monte Carlo算法等核心概念。 1. 概率算法的期望执行时间是衡量算法在随机因素影响下性能的重要指标。选项B正确地描述了它是指所有输入实例上的平均执行时间，而不是单一实例的平均或最坏情况。A和D选项混淆了期望时间和最坏时间，而C选项错误地将其定义为上界。 2. Monte Carlo算法在解决某些问题时，可能会给出错误答案，但随着算法运行次数的增加，错误率可以被控制到任意小的范围内。因此，选项C正确。A选项的"数字概率算法"不是标准术语，B选项的Las Vegas算法通常确保最终结果是正确的，D选项的Sherwood算法与题目描述不符。 3. Las Vegas算法通常在不返回错误答案的情况下运行，直到成功。题目中给出的算法模板反映了这一特点。选项C正确地表示了算法obstinate的期望时间计算，它结合了成功的期望时间和失败时的期望时间。 4. 一个一致的、p-正确的MC算法是有偏的，意味着算法在输出正确解时的概率至少为p。因此，选项D正确，p必须大于1/2，以保证正确性概率大于错误性概率。 5. 偏真的MC算法意味着当它返回true时，解一定是正确的。然而，返回false并不保证解是错误的。所以，选项D正确概述了这种算法的性质。 6. 根据LV算法的期望时间公式，可以计算出失败的期望时间e(x)。已知t(x)=288，p(x)=0.2，s(x)=8，代入公式t(x)=p(x)s(x)+(1-p(x))(e(x)+s(x))，解得e(x)=210。 7. 一个一致的、3/5-正确的MC算法，如果要求出错概率不超过ε，需要通过重试来降低错误概率。具体的重试次数计算涉及复杂数学公式，需要根据ε的具体值来确定，题目中未给出ε的值，无法直接计算。 8. 题目中的第八题不完整，无法提供解答。通常，这类问题会涉及概率或算法复杂度的计算，可能需要应用概率论或算法分析的知识来解决。 以上内容展示了算法设计与分析领域的关键概念，包括概率算法的期望运行时间、Las Vegas算法和Monte Carlo算法的性质，以及它们在实际问题中的应用。这些知识点对于理解和优化复杂算法至关重要，也是研究生阶段学习算法设计与分析的重点。