清华大学樊平毅教授随机过程课程讲义

"清华大学随机过程讲义1涵盖了随机过程的基础知识，包括随机概论、平稳过程、离散鞅论、Poisson过程和更新过程，以及Brown运动、Markov链和连续参数Markov链等内容。课程由樊平毅教授主讲，设有平时作业、项目和期中期末考试作为评价标准。参考书为樊平毅的《随机过程理论与应用》。" 随机过程是概率论中的一个重要概念，它扩展了单一随机变量的概念，引入了时间和空间维度。在随机过程中，每个时间点上的值都是一个随机变量，可以形象地用随机运动轨迹来描绘。随机过程的主要特点包括： 1. 在特定时刻 \( t \) 的单个样本值是一个随机变量，意味着它的取值具有不确定性。 2. 随机过程的数学期望是确定的，这指的是随机过程在统计上的平均行为是可以预测的。 3. 随机过程是时间 \( t \) 的函数，因此具有函数的特性，可以被看作是定义在时间轴上的随机函数。 随机过程的研究范围广泛，可以从两个方面进行探讨： - **随机变量的性质**：关注连续型和离散型随机过程，分析其均值、方差、协方差等统计特性，以及有限维分布等。 - **函数特性的研究**：深入研究随机过程的函数特性，如平稳性、马尔可夫性、遍历性等，这些特性对于理解和应用随机过程至关重要。 在讲义中，特别提到了几个关键的随机过程类型： - **平稳过程**：这类过程的统计特性（如均值和方差）不随时间平移而改变，是许多信号处理和通信系统分析的基础。 - **离散鞅论**：离散鞅是赌博和金融数学中的重要工具，满足一定的上升或下降条件，且在每个时间步的期望值等于当前值。 - **Poisson过程**：描述事件在单位时间内发生次数的概率分布，常见于计数过程，如交通事故、电话呼叫到达等。 - **Brown运动（布朗运动）**：一种连续时间的随机过程，表现为微小粒子在液体或气体中的无规则运动，是金融学中的基础模型之一。 - **Markov链**：状态之间的转移只依赖于当前状态，不依赖于过去历史，广泛应用于物理、化学、生物学、计算机科学等领域。 - **连续参数Markov链**：时间连续的Markov过程，如扩散过程，用于模拟连续时间下的随机演化。 学习随机过程不仅需要理解其基本概念，还需要掌握如何运用这些知识解决实际问题，例如超市排队问题可以通过随机过程建模来优化服务效率。此外，通过图形配色问题的随机分配，可以运用随机过程理论探索最优解的可能性。在实际应用中，随机过程是通信系统、经济预测、生物学模型等多个领域的重要理论基础。