多元正态分布性质：子向量的条件分布

"这篇资料主要介绍了多元正态分布的相关性质，包括其定义、概率密度函数以及线性变换下的性质。" 在统计学和概率论中，多元正态分布是处理多维连续随机变量的一种重要分布。它扩展了单变量正态分布的概念到多个变量的情况。在【标题】和【描述】中提到的性质，指的是对于一个多元正态向量，如果已知部分分量的值，那么剩余分量的条件分布仍然是多元正态分布。这意味着如果随机向量 \( \mathbf{X} \) 遵循多元正态分布，给定 \( \mathbf{X}_1 \) 的值，\( \mathbf{X}_2 \) 的条件分布仍会是多元正态的，其中 \( \mathbf{X}_1 \) 和 \( \mathbf{X}_2 \) 是 \( \mathbf{X} \) 的子集。 具体来说，这个性质可以用以下形式表达：设 \( \mathbf{X} \) 是一个 \( p \) 维的多元正态随机向量，其均值为 \( \boldsymbol{\mu} \) ，协方差矩阵为 \( \boldsymbol{\Sigma} \)。若已知 \( \mathbf{X}_1 \) 的值，那么 \( \mathbf{X}_2 \) 的条件分布为 \( \mathbf{X}_2 | \mathbf{X}_1 = \mathbf{x}_1 \) 是一个 \( (p - k) \) 维的正态分布，条件均值 \( \boldsymbol{\mu}_{2|1} \) 由 \( \mathbf{X}_1 \) 的值决定，条件协方差矩阵 \( \boldsymbol{\Sigma}_{2|1} \) 可以通过 \( \boldsymbol{\Sigma} \) 来计算。 根据【部分内容】，多元正态分布的定义如下： - 设随机向量 \( \mathbf{X} \) 有 \( p \) 个分量，且所有分量独立同分布，每个分量服从标准正态分布，那么 \( \mathbf{X} \) 的概率密度函数（PDF）可以表示为： \[ f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-\frac{p}{2}}|\boldsymbol{\Sigma}|^{-\frac{1}{2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) \] 其中 \( \boldsymbol{\mu} \) 是均值向量，\( \boldsymbol{\Sigma} \) 是协方差矩阵。 如果对 \( \mathbf{X} \) 进行非退化线性变换 \( \mathbf{X} = A\mathbf{u} \)，其中 \( A \) 是 \( p \times p \) 的非奇异矩阵，那么 \( \mathbf{u} \) 的分布也是一个多元正态分布，记为 \( \mathbf{u} \sim N_p(\mathbf{0}, \mathbf{I}) \)，而 \( \mathbf{X} \) 的分布记为 \( \mathbf{X} \sim N_p(A\boldsymbol{\mu}, AA^T) \)。\( \mathbf{X} \) 的均值 \( \boldsymbol{\mu}_X \) 为 \( A\boldsymbol{\mu} \)，协方差矩阵 \( \boldsymbol{\Sigma}_X \) 为 \( AA^T \)。 此外，通过雅可比行列式，可以将 \( \mathbf{X} \) 的PDF转换为 \( \mathbf{u} \) 的PDF，从而保持概率密度的归一性。这使得多元正态分布在线性变换下保持其性质，这是多元分析中的一个重要特性，常用于统计推断和模型构建。 总结来说，多元正态分布是统计学中一种重要的分布，它具有良好的数学性质，如条件分布的正态性和线性变换的不变性，这使得它在多元统计分析、回归模型、贝叶斯推断等多个领域中有广泛应用。