JT引力与KdV方程：宏观数学循环算子的新视角
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更新于2024-07-16
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"JT重力，KdV方程和宏观回路算子"，作者：Kazumi Okuyama 和 Kazuhiro Saka，发表于JHEP01(2020)156，是开放访问的学术文章。
本文深入探讨了Jackiw-Teitelboim (JT) 重力理论在渐近欧氏AdS 2背景下的热分配函数。JT重力是一种简化版的二维量子引力理论，通常用于研究黑洞的统计物理。Saad、Shenker和Stanford提出的新矩阵模型提供了一个描述JT重力的有效框架。
作者表明，JT重力的分配函数可以表示为二维旧重力矩阵模型中宏观回路算子的期望值。在这个模型中，无穷多的耦合以特定的方式被打开，这为理解和计算复杂系统提供了新的途径。基于这个表达式，他们开发了一种高效的方法，利用Korteweg-de Vries (KdV) 方程的约束来处理属扩展和低温扩展中的分区函数计算。
KdV方程是一个非线性偏微分方程，常用于描述流体动力学中的波运动。在本文中，它被用来约束JT重力的热力学行为，从而允许对高阶项进行精确计算。作者通过这种方法将这两个展开计算到了非常高的阶数，并在特定的缩放限制下，发现了封闭形式的自由能扩展的前几个阶。
在较低温度的限制下，当温度与属数计数参数的比率保持固定时，这种方法尤其有效。数值研究表明，这揭示了特征值密度和Baker-Akhiezer函数的行为，它们是描述量子系统的重要量。特征值密度与系统的能量水平分布有关，而Baker-Akhiezer函数则在量子力学和统计物理学中起到关键作用，特别是在与经典力学对应的研究中。
这篇论文为理解JT重力的热力学性质提供了一个强大的工具，并通过与KdV方程的联系，展示了如何将高级数学方法应用于物理问题，从而深化我们对量子引力的理解。这些研究成果不仅有助于理论物理学的发展，也可能对未来黑洞物理学和量子宇宙学的研究产生深远影响。
JHEP01(2020)156
satisfies the (generalized) KdV equations
∂
k
u = ∂
0
R
k+1
, (2.21)
where R
k
are the Gelfand-Dikii differential polynomials of u
R
0
= 1, R
1
= u, R
2
=
u
2
2
+
D
2
0
u
12
, R
3
=
u
3
6
+
uD
2
0
u
12
+
(D
0
u)
2
24
+
D
4
0
u
240
, ··· .
(2.22)
Here we have introduced the notations
∂
k
:=
∂
∂t
k
, D
k
:= g
s
∂
k
. (2.23)
For k = 1, (2.21) gives the traditional KdV equation
D
1
u = D
0
u
2
2
+
D
2
0
u
12
. (2.24)
R
k
are determined by the recursion relation
(2k + 1)D
0
R
k+1
=
1
4
D
3
0
R
k
+ 2uD
0
R
k
+ (D
0
u)R
k
(2.25)
with the initial condition R
0
= 1. Integrating (2.21) once in t
0
we have
∂
k
∂
0
F = R
k+1
. (2.26)
In this paper we call the above relations obeyed by F the KdV constraints.
We would like to make use of the KdV constraints to study the JT gravity partition
function (2.19). To do this, it is better not to fix the value of t
i
completely as in (2.19) but
rather leave t
0
and t
1
as parameters. In what follows we regard F as a function in t
0
, t
1
(and also in g
s
)
F (t
0
, t
1
) = F (t
0
, t
1
, {t
k
= γ
k
}
k≥2
) . (2.27)
As we will see, at least locally around (t
0
, t
1
) = (0, 0) one can introduce such a two-
parameter deformation. One should also keep in mind that there is no guarantee that
F (t
0
, t
1
) is well-defined for arbitrary values of (t
0
, t
1
). For our purposes it is convenient to
introduce the rescaled parameters
~ :=
1
√
2
g
s
, x := ~
−1
t
0
, τ := ~
−1
t
1
(2.28)
and the notation
0
:= ∂
x
= ~∂
0
, ˙ := ∂
τ
= ~∂
1
. (2.29)
We then introduce a two-parameter deformation of the partition function (2.19) as
Z
JT
(t
0
, t
1
) :=
1
√
2πg
s
β
3/2
e
β
−1
+ βt
0
+
∞
X
k=0
β
k+2
∂
k
F (t
0
, t
1
)
. (2.30)
– 7 –
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