数学模型课程大作业解析：饮料兑换、正多边形面积与小孩会面距离

"西电数模选修课的最后一次大作业包含了四个问题，涉及饮料兑换策略、几何图形面积最大化的证明以及最小总距离的优化问题。" 在这次数模选修课的作业中，学生被要求解决一系列有趣的数学问题： 1. 饮料兑换问题： 题目描述了一个饮料公司的促销活动，即用三个空罐可以换取一罐新的饮料。首先，题目验证了买5罐饮料确实可以得到7罐。接着，要求学生找出能获得最多饮料罐数的递推公式f(n)。通过观察可以发现，当n罐饮料被兑换时，f(n)的值可以通过f(n-3)+1得到，除非n<3，此时f(n)=n。据此，当n=167时，可以计算得到f(167)=250。如果允许借罐，递推公式变为f(n)=max(f(n-1), f(n-3)+1)，这样可以保证在任何情况下都能获取更多的饮料。 2. 平面图形面积最大化问题： 提出的问题是要证明在周长固定的情况下，正多边形的面积是所有n边形中最大的。通过构造不等边n边形，并将其转化为边长更均匀的n边形，证明了面积会逐渐增大，直到所有边长都相等，形成正n边形，此时面积达到最大。因此，周长固定的平面图形，其面积最大值为一个内角为180°/n的正n边形的面积。 3. 距离最短会面问题： 这个问题设定在一条直线上，有n座房子，每个房子里有若干小孩需要会面。为了使他们行走的总距离最小，可以将问题简化为数轴上的问题。当每个房子只有一名小孩时，若n为奇数，最小总距离发生在房子中点；若n为偶数，最小总距离发生在中间两个房子的中点。如果有多个小孩的房子，可以将它们视为单独的房子，然后应用同样的方法。 4. 圆环形街道的会面问题： 如果街道是圆环形的，情况略有不同。因为圆环没有中心，所以最小总距离不再存在一个明确的点，而是存在一个区间，这个区间是所有房子到圆环上某一点的最短距离和等于其他所有房子到这个点的最短距离和的区间。在这个区间内的任何点都是最佳会面点。 这些问题的解决不仅需要扎实的数学基础，还需要创新思维和优化能力。它们涉及到了递推关系、几何优化和距离最小化等概念，这些都是数学建模中常见的挑战。通过解决这些问题，学生能够提升逻辑推理、问题解决和抽象思维的能力。