《高等数理逻辑》命题逻辑详解

该资料涉及的是高级数理逻辑中的命题逻辑部分，主要讲解了命题、逻辑联接词、命题公式、等值演算、对偶与范式、推理理论、公理化系统PM-系统、元理论以及命题逻辑在计算机科学中的应用。 在高级数理逻辑中，命题是具有确定真假意义的陈述句。根据描述，命题可以分为三类：第一类是现实生活中可以直接判断真假的陈述；第二类是目前无法判断真假，但其本身具有真假意义的陈述；第三类是真假取决于特定讨论范围（论域）的陈述。非命题则包括感叹句、疑问句和祈使句，因为它们不具备确定的真假性。 在命题逻辑中，简单命题是不包含逻辑联接词的基本命题单位，它们被视为不可再分的逻辑实体。而复合命题是由简单命题通过逻辑联接词（如与、或、非、蕴含、等价）构造而成的新命题，其真假性取决于组成它的简单命题的真值。例如，"地球绕着月亮转"是一个简单命题，而"如果地球绕着月亮转，那么1+1=2"是一个复合命题，它的真假取决于两个子命题的真假。 为了进行逻辑运算和推理，通常需要将自然语言中的命题符号化，使用大写字母如P、Q、R代表不同的命题。比如，P可以代表命题"5加2等于3"。这样的命题称为命题常元，其真假值可以直接赋予。 此外，逻辑联接词是构建复合命题的关键，常见的有五种：合取（与，用逻辑运算符"∧"表示）、析取（或，用"∨"表示）、否定（非，用"¬"表示）、蕴含（→）和逻辑等价（↔）。通过这些联接词，可以构建复杂的命题结构，并进行等值演算，例如德摩根定律、分配律、结合律等。 在推理理论中，研究如何从一组已知命题推导出新命题，这通常涉及到一套公理化系统，如PM-系统，它定义了一组形式规则来导出命题。PM-系统的元理论则是研究这个系统本身的性质，例如一致性、完备性等。 最后，命题逻辑在计算机科学中有广泛应用，例如在形式验证、自动定理证明、编程语言的语义描述等方面都发挥着重要作用。理解并掌握命题逻辑对于深入理解计算机科学中的逻辑基础至关重要。