北航数值分析大作业一：矩阵特征值与条件数计算详解

北航数值分析大作业一是北京航空航天大学计算机学院计算机技术专业的课程作业，旨在让学生掌握数值分析的基本方法和技巧。本作业包含了三个主要部分：算法设计方案、源代码实现以及特定问题求解。 1. **算法设计方案**： - **最大特征值与最小特征值的求解**：作业要求求解矩阵A的最大特征值和最小特征值。使用幂法（Power Method）可以找到按模最大的特征值，若结果为正则为最大值，结果为负则为次大值。为了求取最小特征值，可以通过原点平移的方法，即在已知最大特征值的基础上，减去该值后应用反幂法求解。最小特征值记为λ_1，最大特征值记为λ_N。 - **最接近特定向量的特征值**：题目转化为在给定偏移量的情况下寻找按模最小的特征值。通过先使用反幂法找到偏移后的最小特征值，然后加上这个偏移量，即可得到所需的结果。 2. **源代码实现**： - 代码使用C++编写，包括了几个关键函数：`init_A()`用于初始化矩阵A；`init_u()`初始化迭代向量；`get_max()`确定绝对值最大的元素；`get_t()`进行单位化处理；`get_u()`计算新迭代向量；`getValue()`计算特征值；`checkValue()`执行幂法的迭代过程；`getMaxValue()`和`getMinValue()`分别计算最大和最小特征值；`resolve_LU()`负责矩阵的LU分解，这是一种将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的运算；`backSubstitution()`用于解决线性方程组，这是计算特征值过程中可能用到的步骤。 3. **具体问题求解**： - **谱范数条件数和行列式的计算**：通过对矩阵A进行LU分解，可以方便地计算其行列式（非零则矩阵非奇异），进而利用特征值的关系式计算谱范数条件数。对于非奇异对称矩阵，谱范数条件数定义为最大特征值与最小特征值之比。 这是一份涉及数值分析基础概念和编程实践的作业，要求学生运用幂法、反幂法等算法来求解矩阵特征值问题，并且通过实际代码展示了如何处理矩阵分解和求解线性系统的步骤。完成这项作业有助于提高学生在矩阵理论和数值计算方面的实践能力。