相轨迹法：非线性系统分析与二阶常微分方程

相平面法是一种强大的工具，用于分析非线性控制系统的行为，特别适用于处理二阶或一阶系统。它通过将系统的动态特性可视化于二维的相平面上，直观地展现系统的响应性能。相变量在此方法中扮演关键角色，它们是一组状态变量，如在二阶线性控制系统中，输出变量y(t)和输入变量c(t)可以作为一组，或者包括误差信号e(t)和输出y(t)。这些变量满足导函数关系，相变量的选择并不唯一，但选择一组能够清晰反映系统动态的变量至关重要。 对于二阶系统，其微分方程通常表现为形式（7-9），通过变量替换（如x和dx/dt），我们可以将其简化为相轨迹方程（7-11）。相轨迹即为相平面上描述变量x随时间变化的轨迹，它是由微分方程（7-9）决定的，这个方程被称为相轨迹微分方程。相轨迹表达式则是该方程积分的结果，它提供了系统行为的直观描述。 线性系统（如式7-12所示）的分析更为简单，因为其特征方程的根决定了系统的自由运动性质。特征方程的根决定了系统的稳定性，如实根对应稳定的振动，复共轭根则可能引起衰减振荡或发散。在相平面上，线性系统的相轨迹通常是直线或圆，这与特征方程根的类型相对应。 通过比较图7-40中的相轨迹图和实际系统，可以调整开关线的位置，从而优化系统的性能。输出响应特性（如超调量、延迟时间、上升时间等）可以从相轨迹曲线中直接获取，这些时域指标反映了系统的响应速度和精度。 总结来说，相平面法是一种强大的分析工具，它不仅能够帮助我们理解非线性系统的动态行为，还能通过对线性系统特征的分析，提供设计和优化控制策略的基础。通过相轨迹，工程师可以直接观察到系统的稳定性、响应时间和其他关键性能指标，这对于控制系统的设计和分析至关重要。