多元线性回归分析原理与最小二乘法

"SAS系统讲义-多元线性回归分析" 在统计学和数据分析中，多元线性回归分析是一种常用的方法，用于研究一个或多个自变量（独立变量）与一个因变量（依赖变量）之间的关系。SAS系统是执行此类分析的强大工具。本讲义深入探讨了多元线性回归的基本概念、模型构建以及参数估计方法。 首先，多元回归模型通过公式 `(Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε)` 来表示，其中 `Y` 是因变量，`β0` 是截距项，`β1, β2, ..., βk` 是各自变量的系数，`X1, X2, ..., Xk` 是自变量，而 `ε` 表示随机误差项。模型的矩阵形式为 `Y = XB + ε`，其中 `B` 是未知参数向量，`X` 是包含常数项的自变量矩阵，`ε` 是误差向量。 对于经典线性回归模型，有以下假设： 1. 模型的形式遵循 `(Y = XB + ε)`。 2. `X` 矩阵的元素是固定的，且其秩为 `(k+1)`，其中 `k` 为自变量数量，`N` 为观测样本数，确保没有完全的多重共线性。 3. 误差项 `ε` 遵循正态分布，均值为0，方差为 σ²，且误差项之间无相关性，即 `E(ε) = 0`，`Cov(εi, εj) = 0`，其中 `I` 是单位矩阵。 最小二乘法是多元线性回归中最常用的参数估计方法，其目标是找到一组参数 `B` 使得残差平方和最小。残差 `e` 是实际观察值 `Y` 与预测值 `Y^` 之差，即 `e = Y - Y^`。通过求解残差平方和 `RSS = e'e` 的最小值来确定参数 `B`。通过微分并令偏导数为0，我们可以得到最小二乘估计的闭式解，即 `B = (X'X)^{-1}X'Y`。这里，`(X'X)^{-1}` 是“交叉乘积矩阵”或称“协方差矩阵”，其非奇异性的假设保证了解的存在性和唯一性。 最小二乘法的残差还有一个重要的性质，即自变量与残差的点积之和为0，这意味着残差不依赖于自变量的线性组合，从而增强了模型的解释力。这一特性对于检验模型的假设和进行残差分析非常有用。 在实际应用中，SAS系统提供了一套完整的工具，从数据预处理到模型建立，再到结果解读，支持用户进行有效的多元线性回归分析，帮助研究者理解复杂的数据结构和变量间的关系。通过SAS的统计输出，可以评估模型的拟合度、系数的显著性以及交互效应等，从而为决策提供科学依据。