统计学导论：R语言中的线性模型与共线性分析

"《统计学导论基于R应用》第三章部分习题答案，包括了对线性模型、共线性问题、最小二乘回归、回归系数估计、相关系数计算以及假设检验等内容的解答。" 在本习题中，讨论的是统计学中的线性模型及其在R软件中的应用。首先，通过R代码创建了一个具有共线性问题的数据集，其中变量x1和x2之间存在较强的相关性。线性模型被设定为y = 2 + 2x1 + 0.3x2 + ε，其中β0 = 2，β1 = 2，β2 = 0.3是模型参数。 (a) 题目要求确定线性模型的函数形式和回归系数。根据给出的信息，线性模型的函数形式为Y = 2 + 2X1 + 0.3X2 + ε，回归系数分别为β0 = 2，β1 = 2，β2 = 0.3。 (b) 题目要求计算x1和x2之间的相关系数并绘制散点图。相关系数为0.8351212，表明两个变量之间存在正相关。散点图显示了x1和x2的分布情况，它们在二维空间中呈现出明显的相关性。 (c) 利用x1和x2进行最小二乘回归预测。通过R的回归分析，得到^β0 = 2.1305，^β1 = 1.4396，^β2 = 1.0097，这些是估计的回归系数。与真实的β值比较，可以看出估计值可能与真实值存在差异。对于β1的零假设Ho:β1=0，其p值为0.0487，低于显著性水平α=0.05，因此拒绝零假设，认为β1不等于0。而对于β2的零假设Ho:β2=0，其p值为0.3754，大于α=0.05，接受零假设，认为β2可能等于0。 (d) 只使用x1进行最小二乘回归预测y。这里的β1对应的p值远小于0.05，拒绝零假设Ho:β1=0，表明x1对y有显著影响。 (e) 只使用x2进行最小二乘回归预测y。同样地，β1对应的p值极小，拒绝零假设Ho:β1=0，证明x2对y的预测也有显著作用。 (f) 结果看似矛盾，但实际上是由于x1和x2高度相关导致的。虽然在(c)中同时使用x1和x2时，β2的p值大于显著性水平，但在(d)和(e)中分别只用一个变量时，都能拒绝零假设，这是因为x1和x2都对y有独立的贡献。 (g) 当引入一个错误测量的新观测时，需要重新拟合线性模型。这个新观测可能会改变原有模型的参数估计和统计推断，可能使得某些原本不显著的参数变得显著，或者反之，具体影响取决于新观测的性质和它与其他观测的关系。 这个习题涉及到统计学中的核心概念，包括线性模型构建、相关性分析、最小二乘回归、假设检验以及数据变化对模型的影响，这些都是理解和应用统计学进行数据分析的关键技能。