历届国赛(2003-2014)数学建模真题详解与竞赛指南

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计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预

先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内

油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾

斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需

要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为

圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变

位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平

头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，

实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体

变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐

内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关

系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的

数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进

一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

附件 1：小椭圆储油罐的实验数据

附件 2：实际储油罐的检测数据

评阅要点：

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：

（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油

位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正

问题”。

（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出

罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。

具体需要把握以下几个方面：

第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题

（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算

模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：

[ ( ) 2 arcsin ]

a h b

V ab h b bh h ab L





    

，

其中

,,a b L

分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，

为罐内的油位高度。通

过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。

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表 1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果

油位

高度

/cm

油量/L

油位

高度

/cm

油量/L

油位

高度

/cm

油量/L

油位高

度/cm

油量/L

163.59

1199.31

2489.15

100

3659.88

450.27

1621.00

2910.84

110

3946.55

803.54

2055.07

3306.61

120

4110.15

（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有

不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。将变位参数代入模型，

计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。实

际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在 257L 以上，平均误差达到 190L 以上，

平均相对误差达 30%以上。

表 2：小椭圆罐的修正罐容表的部分结果（

4.1





）

油位

高度

/cm

油量/L

油位

高度

/cm

油量/L

油位

高度

/cm

油量/L

油位高

度/cm

油量/L

70.13

965.66

2232.50

100

3450.72

281.86

1371.88

2661.42

110

3776.64

595.25

1798.52

3072.43

120

4012.74

第二部分：实际大储油罐的有关问题

（1）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，分别考虑油罐的两端有油

和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量

与纵向倾斜变位参数



、横向

偏转变位参数



和油位高度

的关系模型，即

( , , )V F h





。详细的解析模型表述形式

比较复杂，重在分析过程，注意油罐两端含油的不同情况。

当然，也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现，

但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性。

（2）必须明确给出变位参数的辨识准则。

因为实际罐内油量初值未知，所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件 2 的检测

数据可以知道不同时刻的出油量

V

，同时可以计算出相应油位高度的改变量

1i i i

h h h



  

，并由模型表达式

( , , )V F h





计算得到实际储油量的改变量 Δ

),,(),,(

1



iii

hFhFV



，问题可归结为求解非线性最小二乘问题：

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min ( , )



















，或

 

min ( , )

S V V





   



等。

利用附件 2 中的部分数据（如前半部分），借助于工具软件或各种数值方法求解得到参

数估计值



。其具体的数值用不同的方法会有差别，但结果应是纵向倾斜变位角



略

大于 2 度，横向偏转变位角影响不敏感。

如果直接使用附件 2 中的显示储油量



和对应的

做参数估计，即求问题





min ( , )

S V V











的解，这是不对的，因为



是无变位时的显示储油量。若储油量的体积公式

( , , )V F h





是正确的，则用该方法得到的参数



值会很小。

如果经分析说明横向偏转变位的影响不大，则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。

（3）根据修正模型

( , , )V F h





及参数估计值



，可以得到变位后的罐容表（参

见表 3）。并利用附件 2 的实际检测数据（如后半部分）分析检验模型的正确性与方法的

可靠性。

表 3：变位后储油罐的修正罐容表部分结果（使用参数

2.11 , 4.31





）

油位高度

/cm

100

油量/L

354.76

1065.8

2223.0

3702.6

5432.6

7371.3

9487.8

11756.

14155.

16664.

油位高度

/cm

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

油量/L

19265.

21941.

24674.

27450.

30253.

33066.

35876.

38667.

41423.

44128.

油位高度

/cm

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

油量/L

46767.

49322.

51776.

54109.

56302.

58329.

60163.

61768.

63093.

64026.

**用不同的方法，结果会有误差。

（4）为便于比较计算结果，这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值

（见表 4）。

表 4：无变位情况下油罐的罐容表部分结果

油位高度

/cm

100

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油量/L

590.71

1682.0

3101.8

4783.0

6682.4

8767.9

11012.

13394.

15892.

18487.

油位高度

/cm

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

油量/L

21162.

23900.

26685.

29501.

32332.

35163.

37978.

40763.

43501.

46176.

油位高度

/cm

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

油量/L

48771.

51269.

53651.

55896.

57981.

59881.

61562.

62982.

64073.

64664.

本参考要点给出的仅是一种可行解决方法，学生可以使用各种数值方法、工程方法和近

似处理方法，请根据实际情况评判。

2010 年 B 题（上海世博会影响力的定量评估：IBM 中国研究院，杨力平）

统计问题

题目：

2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国工业

博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精

神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用

互联网数据，定量评估 2010 年上海世博会的影响力。

评阅要点：

本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所关注的侧面（角度）的不同，

会导致答卷的多样性。以下几点在评阅中值得特别关注：

1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到 3 天时间不太可能进行一个全面的影响力分

析，如何恰当地选择一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。容易考虑到的

影响力包括经济、旅游、社会、文化等多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、

自愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的论证，要有数据支撑。

2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相关性、信息的完备性等都是值得

注意的问题。鼓励直接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等等。

3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理性，注意数据之间的可比性与归

一化。鼓励纵向（时间）和横向（其它重大事件）的比较。

4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简单常识。

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2009 年 A 题（制动器试验台的控制方法分析：吉林大学，方沛辰）

优化问题（求解物理应用题）

题目：

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆

减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆

的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的

过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，

让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某

数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为

无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设

计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试

验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通

常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试

验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置

以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使

主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速

(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制

动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽

略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能

量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用

时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械

惯量。例如，假设有 4 个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m

，基础惯量

为 10 kg·m

，则可以组成 10，20，30，…，160 kg·m

的 16 种数值的机械惯量。但对于

等效的转动惯量为 45.7 kg·m

的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的

一种解决方法是：把机械惯量设定为 40 kg·m

，然后在制动过程中，让电动机在一定规

律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的

原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数

取为 1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。

工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如

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