Bézier曲线详解：从基础到连续拼接

"Bézier曲线是一种在计算机图形学中广泛应用的参数曲线，由法国工程师Pierre Bézier于1962年提出。这种曲线的特性在于它可以通过一组控制点来定义，而曲线本身是对这些控制点的一种平滑逼近。Bézier曲线的核心是Bernstein基函数，它构成了曲线的数学表达式。每个控制点Pi对应于一个Bernstein基函数Bi(t)，且在t=0和t=1时，曲线始终通过第一个和最后一个控制点。" Bézier曲线的定义基于控制点的Bernstein多项式，公式如下： \[ P(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) P_i \] 其中，\( B_{i,n}(t) \) 是Bernstein基函数，\( n \) 是曲线的阶数，\( t \) 是参数，范围在[0,1]之间，而\( P_i \)是控制点。 一次Bézier曲线（n=1）是最简单的例子，由两个控制点定义，形成一条直线段。二次Bézier曲线（n=2）则有三个控制点，生成的是一个平滑的曲线，它连接起点、终点，并受中间控制点的影响，形状介于两点之间。 Bézier曲线的连续性和拼接是其另一个重要特性。为了得到更复杂的形状，可以将多个Bézier曲线拼接起来，关键在于确保相邻曲线的端点和切线方向一致，以实现视觉上的连续。这种拼接通常通过调整控制点的位置来完成，保持末端控制点重合，并确保它们的导数（即切线）也匹配。 在实际应用中，Bézier曲线因其直观、灵活的性质被广泛用于CAD（计算机辅助设计）、游戏开发、动画制作等领域，允许设计师通过控制控制点来轻松地创建和修改曲线形状。同时，Bézier曲线的计算效率高，便于计算和插值，因此在曲线拟合和路径规划等计算任务中也十分有用。 Bézier曲线是一种强大的工具，它将数学的精确性与设计的直观性结合在一起，极大地推动了计算机图形学的发展。通过理解其基本概念和操作，设计师和程序员能够创建出复杂而精细的几何形状，满足各种创意和工程需求。