图学习：最短路径算法详解

"图的课件" 在图的理论中，数据结构和算法扮演着至关重要的角色。本文将深入探讨图的基本概念、存储结构、遍历方法以及在实际问题中的应用，特别是最短路径问题。 1. 图的定义与术语 图（Graph）由一组数据对象（顶点，Vertex）和它们之间的关系（边，Edge）组成，表示为二元组 G=(V,E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合。顶点代表数据元素，而边则描述顶点之间的关联。例如，一个简单的图 G 可以由顶点集合 V={V1, V2, V3, V4} 和边集合 E={e1, e2, e3, e4, e5} 表示，其中 e1=（v1, v2）表示一条无向边。 2. 无向图 无向图是边没有方向的图，边表示顶点之间的对称关系。比如 e1=（v1, v2）同时也等于 (v2, v1)。无向图的边集合 E 中的每条边都是一个顶点对，如 E={(v1, v2), (v1, v3), (v2, v4), (v3, v4), (v2, v3)}，表示了顶点间的相邻接关系。 3. 图的存储结构 - 邻接矩阵：使用二维数组表示图，数组的每个元素代表对应顶点之间是否有边相连及其权重。对于无向图，邻接矩阵是对称的。 - 邻接表：每个顶点都有一个链表，链表包含所有与其相连的顶点。这种方式节省空间，尤其当图稀疏时。 4. 图的遍历 - 深度优先搜索（DFS）：从一个顶点开始，沿着边深入探索图的分支，直到达到叶子节点，然后回溯。 - 广度优先搜索（BFS）：从一个顶点开始，逐层访问所有相邻顶点，先访问离起点近的顶点。 5. 最短路径问题 - 有向图的最短路径算法，如Dijkstra算法，用于寻找从源点到其他所有顶点的最短路径。初始时，所有顶点的路径长度设为无穷大，源点的路径长度设为0。算法通过不断更新顶点的最短路径来找到全局最优解。 - 描述算法中提到的方法是Dijkstra算法的一种简化表述。首先，用邻接矩阵表示带权有向图，初始化所有顶点的最短路径为无穷大，源点的路径长度为0。然后，每次选取当前未加入集合S中路径最短的顶点，将其加入S，并更新S中其他顶点的最短路径。重复这个过程直到所有顶点都被处理，最终得到最短路径长度递增序列。 通过学习这些内容，读者可以理解和掌握如何用图来建模现实世界的问题，实现图的存储和操作，以及解决最短路径等问题。在实际应用中，例如在计算机科学、物理、化学等领域，图论是解决复杂网络问题的重要工具。