大数据驱动的非线性偏微分方程数值解法研究

本论文深入探讨了大数据背景下，算法在解决若干时间相关非线性偏微分方程数值解法中的应用。论文分为四章，涵盖了预备知识、浅水波问题的数值计算方法、非线性"good" Boussinesq方程的拟谱方法以及非线性Cahn-Hilliard方程的拟谱方法。 在第一章预备知识中，作者首先介绍了Sobolev空间的基本概念，包括嵌入定理和几个常用的不等式，这些都是后续数值分析的基础。接着，讨论了双曲型守恒律，如2x2浅水波方程组，以及有限Fourier逼近和谱方法，如投影算子和插值算子，这些是数值求解偏微分方程的关键技术。逆不等式则在此部分起到稳定性分析的作用。 第二章着重于浅水波问题，包括其数学模型，如波动的连续性和间断性定常解的研究，以及计算非定常解的一种平衡型迎风差分格式。这种格式在保持物理意义的同时，保证了数值解的质量，如满足TVD（Total Variation Diminishing）条件，防止出现不必要的数值震荡。 第五章和第六章分别讨论了非线性"good" Boussinesq方程的拟谱方法。通过半离散和全离散的近似方式，作者研究了伴随方程及其能量范数，确保了数值解的收敛性和稳定性。同时，还探讨了守恒性质，这对于理解和验证算法的正确性至关重要。 最后一章专门研究非线性Cahn-Hilliard方程，这是描述相变过程的重要模型。通过半离散和全离散拟谱方法，作者不仅讨论了解的存在唯一性，还关注了数值解的有界性和爆破现象，并分析了全离散格式的收敛性。 整篇论文展示了在大数据时代，如何运用先进的算法，特别是谱方法，来有效地解决复杂的偏微分方程，为实际的大数据处理提供理论支持和技术手段。通过对这些关键模型和方法的深入研究，有助于提升大数据背景下数值计算的精度和效率。