支持向量机(SVM)零基础推导详解

"从零推导支持向量机(SVM)，详细介绍了SVM的基本概念、线性二分类模型以及线性支持向量机的核心思想，适合没有凸优化基础的初学者阅读，旨在通过清晰的逻辑推导，帮助理解SVM的工作原理和实现过程。" 支持向量机（SVM）是一种广泛应用的监督学习模型，尤其在处理分类问题时展现出高效性能。它主要分为线性SVM和非线性SVM，本文主要关注的是线性的部分。在SVM的理论中，关键在于寻找一个能够最大化类别间隔的决策边界。 首先，我们来看线性二分类模型。这个模型基于给定的训练数据集，每个样本由特征向量和对应的类别标签组成。目标是找到一个线性决策函数，即权重向量w与特征向量xi的内积加上偏置b，通过这个函数将正类和负类样本分隔开来。线性决策函数通常表示为h(xi) = sign(w ⊤ xi + b)，其中w是权重向量，b是偏置，sign函数决定分类结果。 接下来，我们引入了定理1，即线性二分类模型的目标是找到一组参数(w, b)，使得所有样本点都在其对应的类别一侧，即yi(w ⊤ xi + b) > 0。这意味着找到的超平面应将所有正样本与负样本正确分开。 支持向量机的独特之处在于，它不仅寻求将样本分开，还力求找到一个具有最大边距的超平面。最大边距意味着超平面与最近的样本点之间的距离最大，这样的超平面对噪声和异常值更鲁棒。SVM通过引入间隔（margin）的概念来实现这一点，间隔是超平面与最近的样本点之间的距离的两倍。因此，SVM的优化目标是找到最大间隔的超平面，同时确保所有样本都在正确的一侧。 为了处理那些不能被线性分割的数据，SVM通过核函数引入非线性映射，将原始特征空间转换到一个高维特征空间，使得在高维空间中可以找到一个线性超平面来有效分割样本。这种方法允许SVM处理非线性分类问题，而无需直接在原始低维空间进行复杂的非线性操作。 尽管现代深度学习模型在许多领域取得了显著成就，但SVM在某些特定场景下仍具有优势，特别是在特征维度高于样本数量（所谓的“小样本学习”问题）时，SVM的表现往往优于深度神经网络。此外，SVM的优化问题可以通过凸优化方法解决，保证了全局最优解的存在性，这是很多其他机器学习模型所不具备的特性。 理解SVM的原理和实现对于学习机器学习的进阶知识至关重要，它可以帮助我们更好地理解和设计分类模型，尤其是在处理小样本和高维数据时。本文的目的是以清晰易懂的方式，从零开始推导SVM，使得即使没有凸优化背景的读者也能跟随推导过程，掌握SVM的核心思想和算法细节。