旅行商问题的分支限界法实现与解析

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“旅行商售货员问题的分支限界算法实现及原理介绍” 旅行商售货员问题(Traveling Salesman Problem, TSP)是一个经典的组合优化问题,它要求找到一条经过所有城市的最短路径,且每座城市仅访问一次,最后返回起点。这个问题在计算机科学、运筹学和图论中都有广泛的研究,因其NP-hard性而著名,意味着没有已知的多项式时间解法。 分支限界法(Branch and Bound)是一种用于解决这类优化问题的有效搜索策略。它通过系统地探索可能的解决方案树,并在搜索过程中使用限界函数来剪枝,避免考虑那些不可能产生最优解的分支。相比回溯算法,分支限界通常能更高效地找到全局最优解,因为它会优先处理最有希望的分支。 在这个实验中,旅行商问题的解空间被建模为一个排列树,每个节点代表一个部分排列。优先队列(这里采用最小优先队列)用于存储活节点,即未完成的旅行路径。每个节点(类型为MinHeapNode)包含以下信息: 1. x:一个整数数组,表示当前排列,x[0]始终为起点。 2. s:一个整数,表示排列中已确定的部分,x[0:s]。 3. cc:从起点到当前节点的路径耗费。 4. lcost:子树中最低的耗费。 5. rcost:剩余未访问城市之间的最小耗费之和。 代码中,定义了`MAX_CITY_NUMBER`和`MAX_COST`作为城市数量的最大值和两个城市间费用的最大值。`City_Graph`用于存储城市间的边权重,`City_Size`表示实际的城市数量,`Best_Cost`保存已找到的最小费用。 分支限界算法的实现步骤大致如下: 1. 初始化:创建一个包含所有可能起始节点的最小优先队列。 2. 搜索:每次从队列中取出代价最小的节点,扩展其子节点,并计算新节点的限界值(lcost + rcost)。 3. 剪枝:如果新节点的限界值大于当前已找到的最佳解,则可以直接舍弃。 4. 更新:将满足条件的新节点加入队列,继续搜索。 5. 终止:直到队列为空,此时找到的最小耗费路径即为全局最优解。 在这个实验中,学生需要实现分支限界算法的代码,通过不断扩展和剪枝,最终找出旅行商问题的最小耗费路径。通过对比分支限界法和回溯算法,可以深入理解两者在解决问题时的不同策略和效率。