分数次Dirichlet泛函不等式的推广与应用

分数次Dirichlet型的泛函不等式是由王凤雨教授在北京师范大学数学科学学院进行的研究工作。这项研究从经典的Dirichlet型泛函不等式出发，探讨了分数次的泛化形式，这是一种在分析马氏半群性质和谱结构时的强有力工具。马氏半群，特别是分数次扩散或局部Dirichlet型，如稳定过程中的Brown运动生成元的1/2次幂，其生成元谱的特性具有重要应用价值。 王凤雨的研究得到了国家创新群体研究基金、博士点基金和973计划等项目的资助，这体现了该领域在中国科研领域的重视。经典的泛函不等式，如Sobolev不等式、Nash不等式和对数Sobolev不等式，被广泛用于马氏过程分析，而分数次泛函不等式的引入则是对这一领域的一个拓展，特别适合于处理分数次扩散过程，如分数次Dirichlet型。 论文的核心内容包括一般正定算子上的分数泛函不等式建立，以及具体应用到超不等式、弱不等式和本质超不等式等不同类型。通过给出实例，作者证明了所得结果的精确性，表明这些分数次泛函不等式能够提供更深入的马氏半群性质理解和谱估计。 该研究不仅扩展了泛函不等式的理论边界，而且使得这类不等式在实际应用中的验证更加灵活，适用于不同类型的随机过程，特别是对于分数次过程的研究具有显著的价值。这一工作的发表，标志着分数次Dirichlet型泛函不等式成为数学分析和概率论领域一个新的研究热点。