北京大学网络流算法讲解与Ford-Fulkerson方法

"这篇资料主要介绍了北京大学信息学院的网络流算法课程内容，特别是关于Ford-Fulkerson算法的应用和理解。" 网络流算法是图论中的一种经典算法，它在计算机科学和运筹学中有着广泛的应用，如网络设计、调度问题、匹配问题等。在网络流问题中，我们考虑的是一个有向图G=(V,E)，其中每个边(e)都有一个非负的容量限制cap(e)，代表这条边能传输的最大流量。图中设定一个源点s和一个汇点t，目标是找出从s到t的最大可能流量。 Ford-Fulkerson算法是解决这一问题的常用方法。该算法的核心思想是通过深度优先搜索(DFS)来寻找从源点s到汇点t的增广路径，也就是能增加总流量的路径。每次DFS找到的路径上，容量最小的边决定了此次增加的流量。然后更新所有经过的边的容量，将它们的剩余容量减少刚刚找到的流量，并添加反向边，其容量等于之前DFS中该边消耗的流量。这个过程不断重复，直到无法找到任何增广路径为止，此时达到的最大流量即为网络的最大流。 在讲解过程中，提到了一个例子，说明了为什么不能简单地通过DFS一次性找到最大流。在最初的尝试中，如果沿s-a-b-t路径寻找流量，可能会过早地认为a到b的边已经满载，而忽视了可能存在流量为200的流。为了解决这个问题，我们需要能够回溯并调整已经确定的流量，这通过添加反向边并构建残余网络得以实现。在残余网络中，每条边的容量表示可以额外传递的流量，反向边则表示流量可以从相反方向流动。 第一次DFS后，我们添加反向边并进行第二次DFS，找到了新的增广路径，从而增加了流量。当再次进行DFS且无法找到增广路径时，表明已达到最大流。这个过程体现了Ford-Fulkerson算法的迭代性质，通过不断地寻找和利用残余网络中的增广路径，逐步逼近最大流。 网络流算法，特别是Ford-Fulkerson算法，是一种有效求解网络中最大流量的方法。通过对图的不断修改和探索，算法能够逐渐优化流量分配，最终找到最优解。北京大学的信息学院资料中详细阐述了这一过程，有助于读者深入理解和掌握网络流问题的解决策略。