动态规划经典题目解析与应用——C++实现

"基础算法 第9章 第3节 动态规划经典题(C++版)-2022.02.14(C).pdf" 本文主要介绍动态规划这一重要的算法思想，特别是在解决最优化问题中的应用。动态规划并不像其他算法那样具有统一的数学表达和解题步骤，它更侧重于根据具体问题的特点来设计解决方案。动态规划的核心是通过构建状态转移方程，逐步求解最优解。 在动态规划的基本模型中，通常涉及以下几个关键概念： 1. 状态：定义问题的关键变量，用来描述问题在某个阶段的状态。 2. 决策：在当前状态下可选择的操作或动作。 3. 状态转移：从一个状态转移到另一个状态的过程，通常由一个状态转移方程描述。 4. 最优子结构：问题的最优解可以通过其子问题的最优解推导出来，这是动态规划的基础。 5. 记忆化：为了减少重复计算，可以使用数据结构（如数组或哈希表）存储中间结果。 在第三节中，我们关注的是动态规划的经典题——合并石子问题（Problem 9-18）。问题描述如下：有N堆石子，每次可以将相邻的两堆合并成新的一堆，并得到合并堆的石子数量作为得分。目标是找到将所有石子合并成一堆的最小得分。 为了解决这个问题，我们可以采用自底向上的动态规划方法。定义二维数组`f[i][j]`表示将第i堆到第j堆的石子合并成一堆的最优值，以及数组`s[i]`表示前i堆石子的总价值。状态转移方程可以表示为： ```cpp f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]) ``` 这个方程表示在考虑第i堆到第j堆合并的过程中，可以先合并第i堆到第k堆，然后合并第k+1堆到第j堆，最终加上第j堆的石子数减去第i-1堆的石子数（因为第i-1堆已经在之前的合并中计算过了）。遍历所有的i, j, k，更新`f[i][j]`为最小值。 输入样例为7堆石子，每堆的数量分别为13, 7, 8, 16, 21, 4, 18，输出样例是239，即合并所有石子的最小得分。 参考程序使用了C++编写，其中`min`函数用于比较两个整数的大小，主程序中通过嵌套循环计算`f[i][j]`数组，最后输出`f[1][n]`作为答案。这种编程任务有助于学习者理解和实践动态规划思想，以及如何将其应用于实际问题中。 动态规划广泛应用于许多领域，如图论、组合优化、字符串处理等，是解决复杂问题的有效工具。通过不断学习和练习动态规划的典型问题，可以提高解决问题的能力，并为参加如CSP-J（中国计算机学会初中组竞赛）、CSP-S（高中组竞赛）、NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）等竞赛做好准备。