离散时间系统：n阶齐次差分方程通解及特点

在信号系统第七章中，主要讨论的是离散时间信号和系统时域分析，特别是在处理n阶齐次差分方程时的特性。章节首先介绍了数字信号处理（DSP）的新视角，强调离散时间系统分析与连续时间系统的相似性，尽管两者在理论和应用上存在差异。 1. **n阶齐次差分方程通解** 当自然频率全部为单根时，求解齐次差分方程的特征方程是关键，如二阶系统中的二重根（E1=E2=λ）。这种情况下，解通常涉及线性组合的指数函数形式，通过特征多项式确定。 2. **传输算子与特征方程** 差分方程的特征方程反映了系统的行为，它决定了系统的动态特性。特征根（自然频率）的类型（单根或重根）对通解有直接影响。例如，二重根可能导致两个独立解的线性组合。 3. **离散时间系统的特点** - 离散时间系统通常使用差分方程描述，与连续时间系统的微分方程求解类似但有所不同。 - 卷积和分析法在离散系统中扮演重要角色，如z变换、离散傅立叶变换等变换域方法的应用。 - 数字信号源如计算机系统的输入输出信号是离散信号的典型例子。 4. **离散时间信号** - 定义为仅在离散时间点具有确定值的信号，如抽样信号f(kT)或f(nT)，在非采样时刻没有定义。 - 获取方法包括直接测量和连续信号抽样。 - 表示方法多样，包括图形、数据表格、序列表示以及函数表示，其中k和n仅取整数。 5. **离散系统的优势** - 离散系统在精度、可靠性和集成性方面优于连续系统，便于大规模制造和软件控制。 - 可编程技术和软件设计提高了系统的灵活性和通用性，使得可以根据需要调整系统功能。 6. **离散系统与连续系统的区别** - 分析方法、模型建立和性能评估存在差异，导致离散系统表现出独特性能。 - 虽然有优势，但在处理如模拟信号到数字（A/D）转换和高频信号等方面，离散系统仍受限。 在本章后续部分，读者将学习如何将连续信号转化为离散信号，以及如何利用不同的表示和分析工具来研究离散时间信号的行为。通过对离散时间系统深入理解，能够更好地设计和分析现代通信、信号处理和控制系统。