勾股模糊偏好关系：群体决策中的优化与应用
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更新于2024-08-29
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本文主要探讨了勾股模糊偏好关系（Pythagorean Fuzzy Preference Relations, PFPR）在群体决策中的应用。作者首先基于区间模糊偏好关系（Interval Valued Fuzzy Preference Relations, IVFPR）和直觉模糊偏好关系（Intuitionistic Fuzzy Preference Relations, IFPR）的理论基础，引入勾股模糊数（Pythagorean Fuzzy Number, PFN）这一新的数学工具，扩展了传统模糊偏好关系的概念。勾股模糊偏好关系不仅考虑了模糊性和非线性特性，还具备一定的几何性质，这使得它在表达复杂决策情境中的权重和偏好更加直观。
接着，作者提出了标准化勾股模糊权重向量（Standardized Pythagorean Fuzzy Weighted Vector, PFWV），这是一种用于量化个体或群体决策者的权重表示方式。通过构建一个优化模型，该模型的目标是找到使给定的勾股模糊偏好关系与一致性加性勾股模糊偏好关系之间的偏差最小的权重向量。这种方法确保了群体决策的合理性与有效性。
在处理多个勾股模糊偏好关系的集合时，文章采用了勾股模糊加权二次（Pythagorean Fuzzy Weighted Quadratic, PFWQ）算子，这是一种能够有效处理极端值并保持序关系单调性的集结工具。这种算子在整合多个人的决策时，既考虑了个体的偏好差异，又避免了极端值对整体决策结果的影响。
最后，作者通过实际案例分析展示了所提出的群体决策方法的实用性和可行性。这种方法将勾股模糊偏好关系理论与目标优化模型相结合，为解决复杂、模糊的群体决策问题提供了一种新的解决方案。在决策过程中，这种方法能够更好地处理不确定性，提高决策的精确度和效率，这对于现代信息技术驱动的多元化决策环境具有重要意义。
第2期 杨 艺 等: 勾股模糊偏好关系及其在群体决策中的应用 289
1 备知识
1.1 区间模糊集与直觉模糊集的相关概念
首先给出区间模糊集与直觉模糊集的相关定义.
定义1
[26]
设X = {x
1
, x
2
, ··· , x
n
}为给定的集
合,则X 上的区间模糊集A定义如下:
A = {⟨x
i
, [l
A
(x
i
), r
A
(x
i
)]⟩|x
i
∈ X}, (1)
其中 l
A
(x
i
)和r
A
(x
i
)分别为隶属度区间的上界和下
界, 且 满足 0 ⩽ l
A
(x
i
) ⩽ r
A
(x
i
) ⩽ 1. 称 [l
A
(x
i
),
r
A
(x
i
)] 为区间模糊数 (IVFN), 简记 A = [l, r], 其中
0 ⩽ l ⩽ r ⩽ 1.
对于任意的区间模糊数 A = [l, r ], 文献 [11] 定
义了其中心 center(A) = (l + r)/2 以及不确定程度
length([l, r]) = r − l.
定义2
[7]
设X = {x
1
, x
2
, ··· , x
n
}为给定的集
合,则X 上的直觉模糊集I 定义如下:
I = {⟨x
i
, µ
I
(x
i
), v
I
(x
i
)⟩|x
i
∈ X}, (2)
其中 µ
I
(x
i
) 和 v
I
(x
i
) 分别表示元素 x
i
属于集合 I 的
隶属度和非隶属度. 称二元组 (µ
I
(x
i
), v
I
(x
i
)) 为直
觉模糊数 (IFN), 简记为 β = (µ
I
, v
I
). 其中: µ
I
, v
I
∈
[0, 1]; µ
I
+ v
I
⩽ 1. π
I
= 1 − (µ
I
+ v
I
)为β 犹豫度.
为了比较直觉模糊数,其序关系定义如下.
定义 3
[27]
设 α
i
= (µ
i
, v
i
)(i = 1, 2) 为两个直
觉模糊数,有: 1) 若s
I
(α
1
) < s
I
(α
2
),则α
1
≺
I
α
2
; 2) 若
s
I
(α
1
) = s
I
(α
2
), h
I
(α
1
) < h
I
(α
2
), 则 α
1
≺
I
α
2
; 3) 若
s
I
(α
1
) = s
I
(α
2
), h
I
(α
1
) = h
I
(α
2
), 则 α
1
= α
2
. 其
中: s
I
(α
i
) = µ
i
− v
i
和 h
I
(α
i
) = µ
i
+ v
i
分别为 α
i
(i = 1, 2)的记分函数和精确度函数.
对于任意的直觉模糊数 α = (µ, v), 文献 [12] 提
出,可将α通过如下方式替代成区间模糊数:
A = [r, l] = [µ, 1 − v].
然后, 基于 IFN 的记分函数 / 精确度函数以及 IVFN
的中心度 / 不确定度分析 IFN 与IVFN 之间的替代关
系
[11]
,见表1.
表 1 IFN与IVFN之间的替代关系
名称 直觉模糊数 区间模糊数
隶属度/
非隶属度
(µ, v) [l, r] = [µ, 1 − v]
犹豫度/
不确定度
π
I
= 1 − µ − v r − l = length([r, l])
记分函数 µ − v r + l − 1 = 2 center([r, l]) − 1
精确度函数 µ + v = 1 − π
I
l − r + 1 = 1 − length([r, l])
对于区间模糊数 A
i
= [l
i
, r
i
](i = 1, 2), 基于中
心与不确定程度的概念,定义区间模糊数的序关系如
下:
1) 若center(A
1
) < center(A
2
),则A
1
≺
IV
A
2
;
2) 若 center(A
1
) = center(A
2
), length(A
1
) >
length(A
2
),则A
1
≺
IV
A
2
;
3) 若 center(A
1
) = center(A
2
), length(A
1
) =
length(A
2
),则A
1
= A
2
.
基于IFN和IVFN的序关系,易得如下定理.
定理 1 (保序性) 设 α
i
= (µ
i
, v
i
)(i = 1, 2) 为
两个直觉模糊数, 若两个区间模糊数 A
i
(i = 1, 2)满
足 A
i
= [µ
i
, 1 − v
i
](i = 1, 2), 则有如下两个条件等
价: 1) α
1
≺
I
α
2
; 2) A
1
≺
IV
A
2
.
定理 1 表明, 转换后的区间模糊数仍然保持原有
直觉模糊数之间的序关系. 为了方便, 下面对一些常
用符号进行简记:
[n] = {1, 2, ··· , n}, [n]\[i] = {i + 1, ··· , n}.
1.2
区间偏好关系与直觉模糊偏好关系
定义 4
[5]
设
¯
R 为定义在方案集 X = {X
i
|i ∈
[n]}上区间偏好关系,其满足
¯
R = (¯r
ij
)
n×n
= ([r
−
ij
, r
+
ij
])
n×n
, ¯r
ij
∈ D([0, 1]); (3)
¯r
ji
= [1 − r
+
ij
, 1 − r
−
ij
], ¯r
ii
= [0.5, 0.5], i, j ∈ [n].
(4)
其中: ¯r
ij
表示方案X
i
相对于X
j
的偏好程度, r
−
ij
和r
+
ij
分别表示 ¯r
ij
的上界和下界,而
D([0, 1]) = {[a
−
, a
+
]|a
−
, a
+
∈ [0, 1]; a
−
⩽ a
+
}.
定义 5
[24]
偏好关系
¯
R = (¯r
ij
)
n×n
称为加性一
致性区间偏好关系,若其满足加性传递性条件
¯r
ij
+ ¯r
jk
+ ¯r
ki
= ¯r
kj
+ ¯r
ji
+ ¯r
ik
, i, j, k ∈ [n]. (5)
定义6
[24]
权重向量 ¯ω = (¯ω
1
, ¯ω
2
, ··· , ¯ω
n
)
T
(¯ω
i
=
[ω
−
i
, ω
+
i
])称为标准化的区间权重向量,若其满足
n
∑
j=i
ω
−
j
+ ω
+
i
⩽ 1, ω
−
i
+
n
∑
j=i
ω
+
j
⩾ 1, i ∈ [n]. (6)
以下定理 2 表明, 标准化区间权重向量通过变换
可以构建出加性一致性IVFPR.
定理 2
[24]
设
¯
R = (¯r
ij
)
n×n
为区间模糊偏好关
系, 若存在一个标准化的区间权重向量 ¯ω = (¯ω
1
, ¯ω
2
,
··· , ¯ω
n
)
T
使得
¯r
ij
= [r
−
ij
, r
+
ij
] =
[0.5, 0.5], i = j;
[0.5(1 + ω
−
i
− ω
+
j
), 0.5(1 + ω
+
i
− ω
−
j
)], i = j.
(7)
则
¯
R为加性一致性区间偏好关系.
下面给出IFPR的相关定义.
定义 7
[8]
设R
I
为定义在方案集X 上直觉模糊
偏好关系,其满足
R
I
= (˜r
ij
)
n×n
= ((µ
ij
, v
ij
))
n×n
. (8)
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