数值分析期末试卷与解答：梯形公式、数值积分与插值

该资源是一份关于数值分析的期末试卷及参考答案，主要涉及数值积分、插值、误差分析和矩阵条件数等概念。 在这份试卷中，我们可以看到多个数值分析的重要知识点： 1. **误差分析**：在第一个填空题中提到了用公式进行近似计算时产生的误差，这通常指的是截断误差。截断误差是由于我们无法无限制地进行数学运算（例如无限级数展开）而引入的误差，它是在有限步计算后与精确值之间的差异。 2. **插值法**：第二题涉及到三次样条插值，特别是过三个特定点的二次插值基函数。二次插值是通过三个数据点构造一个二次多项式来逼近函数的一种方法。题目中的`lx`, `l2x`分别代表了基函数。 3. **数值积分**：第三题中提到的梯形公式是数值积分的一种方法，它的代数精度是2，意味着对于二次可微的函数，梯形公式的误差是O(h^2)，其中h是积分区间划分的步长。 4. **牛顿迭代法**：第四题提到了用于求解方程根的牛顿迭代格式。牛顿迭代法基于函数的切线来逼近根，其迭代公式为`x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)`，对于题目中给出的方程`f(x) = x^2`，其迭代格式为`x_{n+1} = 0.5 * (x_n + f(x_n) / f'(x_n))`。 5. **矩阵条件数**：第五题涉及到矩阵的条件数，这是衡量矩阵敏感性的量，反映了当输入稍有变化时，解的变化程度。矩阵`A`的条件数`Cond(A)`在无穷范数下定义为`|A| * |A^-1|`，对于给定的矩阵，题目要求计算其条件数。 6. **Newton插值**：第六题要求使用Newton插值公式构造三次插值多项式，并给出插值余项。Newton插值公式是基于函数值和导数值构建的多项式，可以精确通过指定的点，余项表达了插值多项式与原函数之间的差异。 试卷的第二部分是计算题，包括对Newton插值多项式的构建和插值余项的计算，这些都是数值分析课程中的基本练习，旨在检验学生对这些方法的理解和应用能力。 这份试卷涵盖了数值分析的基本主题，如误差分析、插值、数值积分以及非线性方程的求解，这些都是学习数值分析时必须掌握的核心概念。