线性代数公式大全：考研必备知识点总结

"这篇资料是针对2011年考研准备的线性代数公式总结，涵盖了行列式、矩阵等多个核心概念，旨在帮助考生全面掌握线性代数的基础知识和重要公式。" 线性代数是数学的一个重要分支，尤其在解决多变量问题时起到关键作用。以下是对给出部分内容的详细解释： 1. **行列式** 是线性代数的基础，它定义了一个方阵的数值特性。行列式的元素总数为n²，展开后有n!项，可以分解为多个较小的行列式。代数余子式是行列式中某元素的余下的部分，与位置无关，它在计算行列式的值时扮演重要角色。 2. **代数余子式** 的性质包括：它们的大小与位置无关，特定元素乘以其他行或列的余子式为0，同行或同列元素乘以其对应的余子式等于该行列式的值。这些性质在行列式运算中至关重要。 3. **余子式与代数余子式** 的关系是通过乘以相应的负号来确定，这在进行行列式计算时十分关键。 4. **行列式的性质** 包括翻转、旋转、转置等变换下的值变化，这些都是求解行列式和理解其性质时必须掌握的规则。 5. **行列式的重要公式** 包括主对角线、副对角线元素的乘积，上、下三角形行列式，拉普拉斯展开式，范德蒙行列式，特征值等，这些都是解决线性代数问题的工具。 6. **行列式的恒等式** 比如行列式的值等于所有主子式的乘积，这在证明行列式的性质时非常有用。 7. **矩阵** 是线性代数的另一个核心概念，一个n阶可逆矩阵意味着它可以被逆矩阵所乘以得到单位矩阵，表明矩阵是满秩且非奇异的。行（列）向量组线性无关是矩阵可逆的必要条件。齐次方程组有非零解，说明矩阵的秩小于维度。矩阵的秩与解的存在性和唯一性密切相关，同时也与特征值有关，特别是正定矩阵的特征值都是正的。矩阵的行（列）向量组构成一组基，意味着它们是线性空间的一组基变换。 8. **矩阵的性质** 如n阶矩阵的行列式乘以其转置的行列式总是等于1，这是矩阵运算的一个基本恒等式。 9. **分块矩阵** 是由较小的矩阵组合而成的矩阵，它的运算规则与普通矩阵有所不同，但同样遵循线性代数的基本定理。 10. **矩阵与行列式** 的区别在于，矩阵通常用表格形式表示，而行列式是一个具体的数值，可以进行加减乘除运算。 11. **分块矩阵的结论** 对于特定尺寸和结构的矩阵，有一些特殊的性质和运算规则。 线性代数的这些知识点是理解和解决线性系统、特征值问题、线性变换、特征向量等问题的基础。在考研准备中，熟练掌握这些公式和性质是至关重要的。