谱投影梯度-牛顿两阶段法：解决约束非线性方程的高效算法

本文主要探讨了约束非线性方程的解决策略，特别是在半光滑函数背景下，提出了一种新颖的谱投影梯度-牛顿两相法。研究的焦点在于处理具有约束条件的非线性问题，具体形式为寻找一个向量 \( x^* \)，满足： \[ H(x) = 0, \quad l \leq x \leq u \] 其中，\( x \) 属于域 \( Ω \)，\( H \) 是一个半光滑的非线性映射，\( l \) 和 \( u \) 分别是向量的下界和上界。这种方法分为两个阶段： 1. **第一阶段：谱投影梯度方法** 在这个阶段，作者利用谱投影梯度技术，其目的是为了确保算法在全局上具备收敛性。谱投影梯度法是一种优化工具，它通过对目标函数的特征向量进行操作，有效地控制搜索方向，确保搜索过程不会偏离全局最优解。 2. **第二阶段：投影半光滑渐近牛顿法** 第一阶段结束后，将得到的最终点作为新初始点，切换到投影半光滑渐近牛顿法，这是一个迭代过程，通过近似Hessian矩阵（雅可比矩阵的平方）来逼近局部最优解。这种切换有助于实现快速的局部收敛，提高算法效率。 文章的关键点包括： - **约束半光滑方程**：这类方程的特点在于它们的导数可能不连续但局部可微，对于这类问题的传统优化方法需要特殊处理。 - **谱投影梯度法**：利用函数的谱信息指导优化过程，有助于避免陷入局部极小值。 - **牛顿方法**：在局部优化阶段，通过高阶导数信息加速收敛速度，但在半光滑函数中，通常采用渐近牛顿方法以处理不连续性。 - **两相方法**：通过组合这两种策略，形成一种分步骤、兼顾全局和局部优化的混合方法，确保找到满意解。 论文发表在《应用数学与物理杂志》（Journal of Applied Mathematics and Physics），2019年7期，作者张岳哲来自上海理工大学科学学院。该研究对于处理实际工程中的复杂约束优化问题具有理论价值和应用前景，特别是在工程、经济建模和机器学习等领域，优化问题的求解效率和精度都得到了提升。