图像处理中的傅里叶变换与正交变换

"该资源是一份关于图像处理的课件，主要介绍了仿射变换以及傅里叶变换等图像变换技术。仿射变换包括了缩放、剪切和平移，而傅里叶变换作为重要的图像分析工具，被详细讲解，包括2-D图像的正反变换、可分离和对称变换的特点以及1-D傅里叶变换的计算方法。" 在图像处理领域，仿射变换是一种常见的几何变换方式，它可以描述图像的缩放、剪切和平移操作。仿射变换通过坐标变换公式u' = (eu - dv)/D 和 v' = (– bu + av)/D 实现，其中(e, f, g, h)是变换矩阵的元素，(u, v)和(u', v')分别是变换前后的坐标，D是行列式的值，确保了变换的可逆性。这种变换保持了图像的平行线性关系，但可能会改变形状和大小。 傅里叶变换是图像处理中的核心概念，它用于将图像从空间域转换到频域，以便分析图像的频率成分。2-D图像的傅里叶变换公式为F(u, v) = ∫∫f(x, y)e^(-j2πux/N) * e^(-j2πuy/N)dxdy，其中F(u, v)是频谱，f(x, y)是原始图像，(u, v)是频率坐标。对于具有可分离和对称变换核的2-D傅里叶变换，可以简化为两个1-D变换的组合，先沿列进行变换，然后再沿行进行变换，这大大降低了计算复杂度。 1-D傅里叶变换对单个一维序列进行变换，公式为F(u) = Σf(x)e^(-j2πux/N)，其中F(u)是频谱，f(x)是原始序列，u是频率索引。傅里叶变换的逆变换可以利用傅里叶变换的共轭对称性，即F(u)的共轭翻转作为反变换核进行计算。 正交变换，如傅里叶变换，具有非常重要的性质，即正变换和反变换是彼此的逆运算。在图像处理中，正变换将图像从空间域转换到特定的特征空间，例如频域，而反变换则将处理后的频域信息转换回空间域，形成处理后的图像。除了傅里叶变换，课件还提到了沃尔什和哈达码变换、离散余弦变换以及霍特林变换等其他正交变换，它们在不同的场景下有不同的应用优势。 这份课件详细阐述了图像处理中的关键变换技术，对于理解图像分析和处理的基本原理具有很高的价值。