动态规划算法详解：数字三角形求最大和实例

动态规划是程序设计与算法中的一个重要概念，它在解决优化问题时展现出强大的能力，特别是在需要找到全局最优解的问题中。在这份讲义中，我们聚焦于动态规划的应用，以一个具体的实例——数字三角形（POJ1163）来讲解其基本原理。 动态规划是一种通过将复杂问题分解成子问题并存储解决方案的过程，以便避免重复计算，从而提高效率。在这个例子中，数字三角形的题目要求找到从顶部到底边的路径，使得路径上经过的数字之和最大。由于每一步只能向左下或右下移动，这个问题非常适合用动态规划方法来解决。 讲义首先定义了关键的概念，如二维数组D用来存储三角形的数字，MaxSum数组则记录从每个位置到底边的最大路径和。动态规划的核心在于状态转移方程，即如何通过已知的子问题结果计算出当前问题的最优解。在这个例子中，状态转移方程表示为： - 如果当前位置是最后一行（r == N），那么路径和就是当前位置的数字，即MaxSum(r,j) = D(r,j)。 - 否则，MaxSum(r,j)应该是到达当前位置的两个相邻位置（上一行的j和j+1）中的较大值加上当前位置的数字，即MaxSum(r,j) = max(MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1,j+1)) + D(r,j)。 递归函数MaxSum(i, j)负责计算从(i, j)开始的路径和，通过输入的三角形行数n和每个位置的数字，逐步计算出整个三角形的最优路径和。在main函数中，用户首先读入三角形的大小和数字，然后调用MaxSum函数得到最大和并输出结果。 通过这个数字三角形的动态规划实例，学生可以学习到如何识别和应用动态规划的思想，以及如何使用递归和迭代的方法来求解此类问题。这不仅有助于提升算法设计和编程技巧，还能够理解和掌握如何将问题分解，构建并优化求解过程，这对于在实际编程项目中处理复杂问题至关重要。同时，讲义中提到的配套教材《算法基础与在线实践》提供了更深入的学习资源，使读者能够在理论和实践中不断深化对动态规划的理解。