数值积分实验：求积公式与代数精度详解

在本次数值计算实验5中，主要关注的是数值积分的应用，包括求积公式、代数精度以及Newton-Cotes求积公式。教学目标旨在让学生理解并掌握如何使用计算机进行定积分的近似计算，通过编写程序实现求积公式的算法，并熟悉Mathematica语言的运用。 首先，教学内容的核心是求积公式，它是用于计算定积分的一种近似方法，其基本形式为： \[\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\] 其中，\(w_i\) 是权重系数，\(x_i\) 是划分区间上的节点，\(n\) 是节点数量。求积公式的好坏可以用代数精度来衡量，它决定了公式对于不同阶的多项式的精确度。代数精度越高，表示公式对多项式的误差越小，因此求积公式的选择需要考虑实际问题中的精度需求。 接下来，Newton-Cotes求积公式是具体的一种求积方法，它的代数精度与节点数量有关。n点的Newton-Cotes公式通常具有至少n-1的代数精度，且当n为奇数时，可以达到n。在编程实践中，利用Mathematica可以方便地生成这些系数，例如，通过`Ck[n_] := (-1)^(n-k)/(n*k!*(n-k)!)*Integrate[T[t],{t,0,n}]`这样的函数来计算Cotes系数。 在实验过程中，学生需要完成以下步骤： 1. 初始化：设置变量、划分区间、确定节点数等基础设置。 2. 定义变量 `ab` 和 `h`，分别表示积分区间的起始和结束点以及每个子区间的宽度。 3. 定义函数 `T(t_)`，这个函数通常表示被积函数，需要根据实际问题进行编写。 4. 计算Cotes系数，通过循环结构和矩阵操作实现，如使用`Table`和`Transpose`函数来构建和显示系数矩阵。 5. 最后，通过定义的函数和求积公式，用Mathematica编写程序实现积分的近似计算，并可能涉及到复杂数学函数的处理，比如随机函数的生成。 通过这个实验，学生将能够深化理解数值积分在实际问题中的应用，并提升编程技能，尤其是在科学计算环境如Mathematica中的操作。这对于解决实际工程中的复杂积分问题，以及提高计算精度具有重要意义。