数值分析上机题解析：不同加法顺序对结果的影响

"东南大学《数值分析》上机题包括了两个主要部分：第一部分涉及按不同顺序计算级数求和的问题，第二部分涉及牛顿迭代法解方程的实现和分析。" 在第一部分中，题目要求编写MATLAB程序来计算两个不同顺序的级数求和：从大到小和从小到大。这个过程涉及到数值计算中的序列处理和误差分析。程序首先定义了一个数组a，包含了从2到107的所有整数倒数，然后分别按照两种顺序进行求和。对于从大到小的顺序，使用外层循环变量N，内层循环从2到N-1，每次累加a(i)；对于从小到大的顺序，内层循环使用linspace函数从N-2递减到1，再累加a(i)。计算结果表明，按从小到大的顺序计算得到的和更接近精确值，有效位数也更多，这反映了数值计算中"大数吃小数"现象，即较大的数会吸收较小数的精度，导致计算误差增大。 在第二部分，题目介绍了牛顿迭代法用于求解方程的根。牛顿法基于函数的切线近似，通过迭代逼近根。要求编写程序并选择不同的初始值，观察迭代序列的收敛性。对于给定的方程f(x) = x^3 - x，我们知道它有三个根。根据牛顿法的局部收敛性，如果迭代序列x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)满足一定的条件，那么迭代序列将收敛到某个根。题目要求找到最大的迭代步长γ，使得迭代序列收敛，并且选取不同区间(-∞, -1)，(-1, 0)，(0, 1)内的初始值，分析收敛情况。通过这个上机题，可以深入理解牛顿法的收敛性质及其在实际计算中的应用。 总结起来，这两个上机题旨在让学生掌握数值计算的基本方法，包括级数求和的优化策略和迭代法求解方程根的技巧，同时也强调了数值稳定性、误差分析和算法选择的重要性。通过实际编程和实验，学生能够更好地理解这些概念并应用于解决实际问题。