电磁学重点知识梳理：从矢量运算到电场电位

"《电磁场与电磁波》期末复习资料" 这部分内容涵盖了电磁学领域的多个核心知识点，主要包括矢量运算、电磁场理论、静电场、恒定磁场、高斯定律、斯托克斯定理以及介质中的电磁场行为。以下是详细解释： 1. 圆柱坐标系中的单位矢量涉及向量在不同坐标系下的表示，这里未给出具体值，通常为`e_r`, `e_θ`, `e_z`。 2. 矢量乘法规则：`A×B = |A||B|sinθn`，其中`n`是垂直于`A`和`B`的单位矢量，θ是`A`和`B`之间的夹角。 3. 矢量的单位化和点积计算：矢量`A`的单位矢量为`A/|A|`，`A·B`表示两个矢量的点积。 4. 直角坐标系中的位置矢量和距离矢量计算：点P1的位置矢量是`(5, -2, 1)`，P1到P2的距离矢量是`(3-5, 1-(-2), 2-1)`，即`(2, 3, 1)`。 5. 球坐标系中的单位矢量通常表示为`e_r`, `e_θ`, `e_φ`。 6. 点电荷的镜像电荷问题：在特定几何条件下，点电荷的镜像电荷可以用来等效地描述电场，此处提到的直角劈形问题中，点电荷的镜像电荷个数可能是1或2，取决于具体几何设置。 7. 点电荷的电场强度公式：`E = k*q/r^2`，其中`k`是库仑常数，`q`是电荷，`r`是距离。 8. 静电场中导体内的电场为零，电场强度与电位的关系是`E = -∇V`。 9. 高斯散度定理：`∯S A·dS = ∫∫∫_V ∇·A dV`，它联系了面积分和体积分。 10. 矢量场的旋度散度：`∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A`。 11. 静电场的基本微分方程：`∇·E = ρ/ε₀` 和 `∇×E = 0`，其中`ρ`是电荷密度，`ε₀`是真空电容率。 12. 恒定磁场的基本场变量是磁感应强度`B`和磁场强度`H`，它们之间的关系是`B = μ₀(H + M)`，其中`μ₀`是真空磁导率，`M`是磁化强度。 13. 斯托克斯定理：`∯S A·dS = ∫∫∫_V (∇×A)·dV`，连接了曲面积分和线积分。 14. 标量场的梯度旋度：`∇×∇u = 0`。 15. 矢量场的散度定义：`∇·A`，哈密顿算子表示为`∂/∂x_i * A_i`。 16. 介质中静电场的基本方程积分式：`∯S E·dS = Q/ε₀`，`Q`是封闭曲面内的总电荷。 17. 介质中恒定磁场的微分方程：`∇·B = 0` 和 `∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t`，`J`是电流密度。 18. 介质中恒定磁场的积分方程：`∯S B·dS = μ₀I_enc`，`I_enc`是穿过闭合曲面的净电流。 19. 静电场的边界条件：电场的切向分量连续，法向分量不连续，导致表面电荷。 20. 导电平面上方点电荷的镜像电荷问题：镜像电荷电量为`-q`，位置为`-d`上方，对于两平行导体中间的点电荷，可能有2个镜像电荷。 21. 矢量场散度计算：`∇·A`。 22. 地球上的镜像电荷问题：镜像电荷电量为`-q*(d/(d+a))²`，位置在`(d-a, 0, 0)`，随着点电荷远离，镜像电荷也远离。 23. 导电媒质中的电流体密度与电场强度关系：`J = σE`，理想导电媒质内部电场为零。 24. 电介质极化：电介质分子在外加电场作用下形成偶极矩，导致内部电场改变。 这些知识点是电磁场与电磁波课程的重点，对于理解电磁现象和解决相关问题至关重要。