无界域上奇异p-Laplacian方程组的无穷多解：Hardy-Sobolev临界指标

"该文章是2014年8月发表在江南大学学报(自然科学版)第13卷第4期的一篇论文，主要探讨了一类具有奇异p-Laplacian方程组在无界域上的解的存在性问题。文章作者为徐倚和陈才生，归属河海大学理学院。研究重点在于方程组中含有的Hardy-Sobolev临界指标的非线性项，通过应用变分方法，作者证明了此类问题存在无穷多个解。关键词包括：奇异拟线性椭圆方程组、变分法、Hardy-Sobolev临界指标、无界外区域以及集中紧性原理。" 这篇论文涉及的IT知识点主要包括以下几个方面： 1. **奇异p-Laplacian方程组**：p-Laplacian方程是一种非线性偏微分方程，其中的p表示拉普拉斯算子的指数，可以是任意实数。在p=2时，它退化为标准拉普拉斯算子。奇异是指在某些点或区域，方程的系数或非线性项可能变得不连续或无限大，这增加了求解的复杂性。 2. **Hardy-Sobolev临界指数**：Hardy不等式是数学分析中一个重要的不等式，而Sobolev空间是函数空间的一种，常用于处理偏微分方程的问题。当Hardy不等式与Sobolev嵌入定理结合时，形成了Hardy-Sobolev不等式，其临界指数与问题的解的存在性和唯一性密切相关。 3. **无界外区域**：在数学分析中，无界域指的是没有边界或者面积无限大的区域。这样的域在处理物理问题（如扩散、流体动力学等）时很常见，因为它们可以模拟无限大的空间。 4. **变分方法**：这是一种解决最优化问题的数学工具，常用于求解泛函极值问题，如寻找使某个泛函达到最小值或最大值的函数。在本文中，变分方法被用来找到p-Laplacian方程组的解。 5. **集中紧性原理**：这是泛函分析中的一个重要概念，用于证明在一定条件下，一序列函数的弱极限仍然满足原方程。在处理无界域和奇异非线性问题时，集中紧性原理对于证明解的存在性至关重要。 论文的核心贡献在于，通过上述数学工具和理论，作者证明了即使在存在奇异性和无界性的复杂情况下，含有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程组依然有无穷多个解。这对于理解和解决实际中类似问题提供了理论基础。