"Algebra and Trigonometry, 3ed" 是一本专注于教授代数与三角学概念的教材,旨在帮助学生发现数学的美感和实用性。第三版在原有基础上进行了改进,更好地将练习与各节示例对齐,强调基本概念,并引入了二维和三维向量的新章节。
在代数部分,书中涵盖了指数和根号的基本规则,例如指数的乘法、除法、幂的幂以及根号的运算。例如,\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \),\( \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} \)。此外,还涉及特殊乘法公式,如平方差公式 \( (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \) 和立方差公式 \( (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3-y^3 \)。这些公式在因式分解和解决代数问题时非常有用。
在三角学部分,书中包含了几何图形的面积、周长、体积和表面积的公式,例如矩形的面积 \( A=lw \),圆的面积 \( A=\pi r^2 \) 和圆柱体的体积 \( V=\pi r^2 h \)。同时,赫伦公式 \( A=s(s-a)(s-b)(s-c) \) 用于计算任意三角形的面积,其中 \( s \) 是半周长,\( a, b, c \) 是三角形的边长。
不等式和绝对值的处理也非常重要。例如,如果 \( a>b \) 且 \( b>c \),则 \( a>c \);如果 \( a>b \),则 \( a-c>b-c \)。绝对值 \( |x| \) 表示 \( x \) 的非负值,因此 \( |x|>a \) 意味着 \( x>a \) 或 \( x<-a \),而 \( |x|<a \) 则意味着 \( -a<x<a \)。
本书第三版的更新还包括重新组织和重写某些章节,以更加关注核心概念,同时保持了先前版本成功的关键特性。这使得教师能够更有效地教授数学概念,并激发学生对数学应用的兴趣。通过这种方式,教材不仅提供了扎实的理论基础,还强调了数学在现实世界建模中的作用。