"属性集的闭包是关系数据库理论中的一个重要概念，主要涉及函数依赖和数据库规范化。闭包表示一个属性集在特定函数依赖集下的决定能力，即这个属性集能够通过函数依赖推导出的所有其他属性。在描述中提到，属性集{A1, A2, ..., An}的闭包{A1, A2, ..., An}+包含了由这些属性能确定的所有属性。值得注意的是，属性集本身总是包含在其闭包中。
函数依赖是理解闭包的关键。当关系R的两个元组在某些属性(A1, A2, ..., An)上的值相同，它们在另一个属性B上的值也必然相同，这就表明A1, A2, ..., An函数决定了B，记作A1A2...An→B。如果一个属性集函数决定多个属性，可以将多个依赖合并表示为A1A2...An→B1B2...Bm。
函数依赖有多种类型：
1. 平凡依赖：若B是A的子集，即A→B，这种情况称为平凡依赖。
2. 非平凡依赖：若B中至少有一个属性不在A中，即A→B且B不包含于A，这是非平凡依赖。
3. 完全非平凡依赖：若B中没有一个属性在A中，即A→B且B∩A=∅。
处理函数依赖有几种规则：
1. 分解规则：A1A2...An→B1B2...Bm等价于一系列单一的依赖A1A2...An→Bi (i=1,2,...,m)。
2. 合并规则：一组函数依赖A1A2...An→Bi (i=1,2,...,m)等价于单一依赖A1A2...An→B1B2...Bm。
3. 平凡依赖规则：A1A2...An→B1B2...Bm等价于A1A2...An→C1C2...Ck，其中C是B的子集且C中的所有属性不在A中。
4. 增长规则：如果A1A2...An→B1B2...Bm，那么A1A2...An加上任意属性集C1C2...Ck可以推导出B1B2...Bm加上相同属性集C1C2...Ck。
5. 传递规则：如果A1A2...An→B1B2...Bm和B1B2...Bm→C1C2...Ck都成立，那么A1A2...An也可以直接决定C1C2...Ck。
举例来说，在关系Movie(title, year, length, filmType, studioName, studioAddr)中，存在函数依赖title, year→studioName和studioName→studioAddr。根据传递规则，可以得出新的依赖title, year→studioAddr。
在关系数据库中，键码（key）的概念也非常重要。键码是一组属性，它们的值能够唯一标识表中的每一行。如果一个属性集合{A1, A2, ..., An}可以唯一确定关系中的所有其他属性，那么它就是一个候选键。在没有冗余数据的情况下，通过数据库规范化过程，可以减少依赖并提高数据的一致性和完整性。这通常包括第一范式（1NF）、第二范式（2NF）、第三范式（3NF）以及BCNF（巴斯-科德范式）等规范形式。通过理解属性集的闭包和函数依赖，可以有效地进行数据库设计和优化，确保数据的准确性和一致性。"
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