线性代数模拟试题：填空题与解答

"这是一份线性代数的模拟试题，包含了是非、选择题和填空题，主要涉及矩阵的性质、行列式、线性方程组、二次型以及特征值等相关知识点。" 在这份线性代数模拟试题中，我们可以看到几个关键的知识点： 1. **行列式的性质**：题目中出现了多个关于行列式相等或者为零的情况，比如 $det(AO) = det(OB) = det(BA)$ 或者 $det(AB) = det(BA)$，这些都是行列式的基本性质，表明矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式乘积，而零矩阵的行列式等于零。 2. **矩阵的秩**：秩反映了矩阵行（列）向量组的最大线性无关组的数目，是矩阵的重要属性。例如，问题问的是矩阵 $2 \, 4 \, | \, 1 \, 3 \, 1$ 的秩，计算矩阵的秩可以找出非零行（列）的数量或通过化简行得到简化行阶梯形矩阵。 3. **实对称矩阵的性质**：实对称矩阵有许多特殊的性质，如所有特征值都是实数，且可以对角化。题目中提到了正定和负定二次型的概念，正定矩阵对应的二次型是正的，而负定矩阵对应的二次型是负的。正定矩阵的主子式全为正，负定矩阵的主子式全为负。 4. **线性方程组的解**：齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解当矩阵 $A$ 的秩小于列数，即矩阵不满秩；如果 $A$ 是满秩的，那么非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解。 5. **特征值和特征向量**：特征值是矩阵 $A$ 满足 $Ax=\lambda x$ 的数 $\lambda$，其中 $x$ 是对应的特征向量。在第三部分的问题中，要求求解矩阵 $2 \, 1 \, 2 \, | \, 1 \, 2 \, 1$ 的特征值，这通常需要计算伴随矩阵并利用特征多项式来解决。 6. **二次型**：二次型是形如 $f(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$ 的函数，其可以通过合同变换化为对角形式，此时对角元素即为二次型的平方项系数。当二次型是负定的，意味着所有顺序排列的主子式都为负。 这些是线性代数的基础概念和重要性质，理解和掌握这些知识点对于解答线性代数的题目至关重要。在实际考试或学习过程中，学生需要熟悉这些概念并能够灵活应用。