1991年：一类问题最优迭代参数确定方法及其收敛性

本文主要探讨了一类特定线性代数方程组Ax=b的求解问题，针对Generalized Accelerated Overrelaxation (GAOR) 方法的迭代参数优化。GAOR方法是由A.Haario, A. Psimarinis, 和A. Yeyios于1986年提出的，它通过调整松弛参数ω和加速参数r来提高求解速度。通常，研究人员关注的是找到在不同矩阵条件下具有最佳收敛性能的参数组合。 作者蔡义萤在1991年10月发表在《华侨大学学报自然科学版》上的论文中，提出了一种确定这类问题最优迭代参数的方法。他首先介绍了GAOR迭代法的基本形式，该方法涉及矩阵A的分解以及对角矩阵Di（i=1,2,3）的使用，其中ω、r是关键的参数。为了保证迭代的稳定性，论文强调了ω和det(D1-rD2)都不应为零。 论文的核心内容在于，定理1给出了迭代矩阵Lr的谱半径表达式，这个表达式与A的Hermitian性质以及参数ω和r密切相关。作者利用特征值和特征向量的理论，将谱半径与矩阵的内积、A的线性作用以及参数ω和r的系数关联起来。通过分析这个表达式，作者试图找出能够保证收敛性和最优化性能的参数组合。 论文不仅提供了迭代算法的具体形式，还深入研究了参数选择对迭代过程的影响，这对于实际应用中的线性代数问题求解具有重要的指导意义。由于收敛性是衡量迭代方法有效性的重要指标，因此确定最佳参数对的收敛性证明是本文的关键部分。 这篇论文的主要贡献在于提供了一种确定一类线性代数问题中GAOR方法最优迭代参数的方法，并通过理论分析确保了其收敛性。这对于理解和改进数值计算中的线性方程求解算法具有理论价值，特别是在求解大规模系统时，选择合适的参数可以显著提升计算效率。