整数约数理论及其性质：定义、定理与算术基本定理应用

第3章的主题是"约数理论"，主要探讨了整数之间的除法关系和性质。该章节首先定义了整除的概念，即如果整数a能够被整数b整除，意味着存在整数q使得a = bq，其中b称为a的因数，a是b的倍数。特别指出，0作为特殊情况，0能被任何非零整数整除，且0本身没有因数。 接下来，讨论了定理，表明如果a能被b整除，那么存在唯一的整数q和r（r为余数），使得a = bq + r，并指出b整除a的充分必要条件是余数r等于0。此外，还列举了整除的一些基本性质，如性质1：如果a能整除b，且b能整除c，那么a也能整除c；性质2：a能整除b则a也能整除bc；性质3：a能同时整除b和c的线性组合；以及性质4：互为因数的两个数相等或者互为相反数。 在后续内容中，重点转向了算术基本定理的推论，它表明任何大于1的整数n可以唯一地表示为质数的乘积形式，即n = p1^α1 * p2^α2 * ... * pk^αk，其中p1, p2, ..., pk是不同的素数，而α1, α2, ..., αk是非负整数。这个定理揭示了分解素因数对于理解整数结构的重要性。 此外，该章节还给出了关于n的正约数的计数和求和公式：n的正约数个数为（α1+1）*(α2+1)*...*(αk+1)，所有正约数之和可以通过特定的几何级数公式计算，即（1+p1+p1^2+...+p1^α1) * (1+pk+pk^2+...+pk^αk)。 第3章深入研究了整数的约数概念及其在数论中的应用，包括基本性质、分解定理以及相关计算方法，为理解数论基础提供了坚实的数学工具。