最大似然估计与EM算法解析

"这篇资料主要介绍了EM算法，即极大期望算法在处理大数据时的应用，以及如何解决复杂的优化问题。EM算法常用于统计学中的参数估计，特别是当数据存在隐含变量时的情况。" EM算法是一种在概率模型中寻找参数估计的有效方法，特别是在处理含有未观测或隐含变量的数据集时。在似然函数最大化的过程中，由于涉及到隐变量，导致求解过程变得复杂。常规的极大似然估计方法难以直接应用，因为求导后会得到涉及"和的对数"的形式，使得优化困难。 为了解决这个问题，引入了Jensen不等式。Jensen不等式是实变函数的一个重要性质，它指出，对于凸函数f和随机变量X，期望运算符E满足不等式E[f(X)] ≥ f(E[X])。利用这一不等式，可以将似然函数的对数转换为"对数的和"，简化求导过程，使得参数估计变得更为可行。 在最大期望（EM）算法中，主要有两个步骤：期望（E）阶段和最大化（M）阶段。首先，在E阶段，对当前参数的估计，计算每个观测样本属于不同类别的概率或期望值。然后，在M阶段，根据E阶段得到的信息，更新模型参数，以最大化后验概率，即似然函数。 以身高分布为例，假设有两个群体（例如男生和女生），它们的身高服从不同的高斯分布。如果观测数据中并未标注性别，那么在E阶段，我们需要为每个人估算属于男生群体或女生群体的概率。在M阶段，根据这些概率，分别更新男生和女生的身高分布参数（如均值和方差）。 在解决这种“先有鸡还是先有蛋”的问题时，EM算法通过迭代的方式打破僵局。初始化时，可以任意设定参数，然后在E和M阶段交替进行，每次迭代都会改进参数估计，直到达到收敛，即参数不再显著变化，从而得到最优解。 总结来说，EM算法提供了一种有效处理含有隐变量的模型参数估计方法，通过迭代的方式逐步优化参数，直至找到一个局部最优解。在实际应用中，如机器学习、生物信息学等领域，EM算法都展现出了强大的解决问题的能力。