动态规划求解最长递增子序列

"动态规划解最长递增子序列问题-动态规划" 动态规划是一种解决最优化问题的有效方法，尤其在处理具有重叠子问题和最优子结构特征的问题时。在这个问题中，我们关注的是如何使用动态规划求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）。 最长递增子序列是指在一个给定的序列中，找到一个长度最长的子序列，使得这个子序列中的元素是递增的，但子序列中的元素不必连续。例如，序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 的一个最长递增子序列是 [2, 3, 7, 101]，它的长度为4。 在动态规划的解决方案中，我们可以定义一个数组 b，其中 b[i] 表示以序列中的第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。对于给定的序列 a，我们可以按照以下步骤来计算 b 数组： 1. 初始化 b 数组：b[1] = 1，因为一个单元素序列总是递增的。 2. 从第二个元素开始遍历序列： - 对于每个元素 a[i]，我们需要找到所有小于 a[i] 的元素 a[j]，并更新 b[i] 为 max{b[j]+1}，其中 j < i 且 a[j] <= a[i]。 3. 最后，b 数组中的最大值即为序列的最长递增子序列的长度。 在提供的算法实现中，可以看到一个简单的双层循环来执行上述步骤。外层循环遍历序列的元素，内层循环寻找小于当前元素的前驱元素。内循环中，如果 a[j] 小于等于 a[i] 且 b[j] 大于 k（当前已知的最长递增子序列长度），则更新 k 为 b[j]。在完成内层循环后，将 k+1 赋值给 b[i]。最后返回 b 数组中的最大值。 动态规划的核心在于分解问题，将大问题转化为小问题，然后通过合并这些小问题的解来找到原始问题的解。这种方法避免了重复计算，提高了效率。在数塔问题的例子中，同样展示了动态规划的思想，通过自底向上的方式逐层决策，缩小问题规模，最终找到最优解。 动态规划是一种强大的工具，广泛应用于许多算法问题，如背包问题、最短路径问题、最长公共子序列等。它要求对问题的结构有深刻理解，以便识别子问题和它们之间的关系，从而构建正确的状态转移方程或决策过程。通过这种方式，动态规划能够有效地解决复杂的问题，并确保找到全局最优解。