《信息论、编码与密码学》课后习题详解

"《信息论、编码与密码学》课后习题答案" 这篇资料主要涵盖了信息论的一些基本概念和核心理论，特别是关于信源编码和熵的计算。以下是其中涉及的重要知识点： 1. **信源熵（Entropy）**：信源熵是衡量一个离散信源不确定性或信息量的度量，由Shannon提出。公式为：\( H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2(p(x_i)) \)，其中 \( p(x_i) \) 是信源符号 \( x_i \) 出现的概率。在给定的例子中，计算了一个具有5个不同符号且概率分别为0.30, 0.25, 0.20, 0.15, 0.10的离散无记忆信源（DMS）的熵，结果为2.228 bit。 2. **等概率信源的熵最大**：当离散信源的各个符号出现概率相等时，信源熵达到最大值。证明是通过求导信源熵函数并找到极值点完成的。对于二元信源，当 \( P=Q=\frac{1}{2} \) 时熵最大，这个结论同样适用于多元信源。 3. **不等式证明**：证明了 \( H(X) \leq log_2(n) \) 其中 \( n \) 是信源符号的总数。这个不等式说明了在最坏情况下，即每个符号出现的概率都相等时，信源熵的最大值。通过画出两个函数的图像，可以直观地看出不等式的正确性。 4. **平均自信息（Average Self-Information）**：平均自信息是信源所有符号的自信息的期望值，表示为 \( H(X) \)。例如，对于一个概率为 \( 2^i-1 \) 的无穷信源，平均自信息计算为 \( 2 - (1 - n)2^n \)。 5. **几何分布信源**：具有几何分布的信源，其概率形式为 \( P(Xi) = P(1-P)^{i-1} \)，其平均自信息是 \( (1 - n)(1 - p)^n - \frac{1}{p} \)。 6. **连续随机变量的熵（Entropy for Continuous Random Variables）**：对于取整数值的随机变量 \( X \) 满足 \( P(X=k) = \frac{1}{b-a+1} \)，其熵 \( H(X) \) 可以用类似的方式计算，但需要用到连续随机变量的熵公式，即 \( H(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log_2(f(x)) dx \)。 7. **微分熵（Differential Entropy）**：当随机变量是连续分布时，我们使用微分熵来描述其不确定性。对于均匀分布的随机变量 \( Y \) 具有概率密度函数 \( f(y) \)，微分熵 \( H(Y) \) 可以通过积分 \( H(Y) = -\int_{a}^{b} f(y) \log_2(f(y)) dy \) 来计算。 这些习题解答揭示了信息论中的基本概念，并提供了如何计算熵和平均自信息的实例，这些都是理解和应用信息论的基础。通过解决这些问题，学习者可以深化对信源编码原理的理解，并为理解和设计更复杂的编码技术打下基础。