数值分析复习重点：误差来源与减少、拉格朗日插值

"这是一份数值分析课程的期末复习笔记，主要依据李庆扬编著的《数值分析》第五版。笔记内容涵盖了误差的来源及减少方法、相对误差与绝对误差的概念、拉格朗日插值、函数逼近、最佳平方逼近、最小二乘法、三角分解法（LU分解）、代数精度以及牛顿迭代等核心知识点。" 数值分析是研究如何用数值方法解决数学问题的一门学科，对于科学计算和工程应用具有重要意义。这份笔记首先讨论了误差的来源和减少策略，包括模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。为了提高计算精度，应当避免“大数”除以“小数”，避免相近数相减，以及防止“大数”吃“小数”，同时尽量减少运算次数。 接着，笔记介绍了相对误差和绝对误差的概念，它们是衡量数值计算精度的关键指标。相对误差是无量纲的，而绝对误差则反映了误差的大小。有效数字的概念也在此被提及，它用于度量数值的精确度。当近似值的误差限是某一位的半个单位时，该数值被认为有相应数量的有效数字。 在插值理论部分，笔记详细讲解了拉格朗日插值法，包括线性插值和二次插值。线性插值通过两点式或点斜式建立，二次插值则涉及到三个点的函数值。拉格朗日插值多项式是基于所有插值点构建的，而插值余项则揭示了插值函数与原函数之间的差距。对于n次插值，余项通常与(n+1)阶导数有关，截断误差限可以通过最高阶导数的范围来估计。 此外，笔记还提到了函数逼近和最佳平方逼近，这些是解决复杂函数近似的重要手段。最小二乘法是处理数据拟合问题的标准方法，尤其在处理噪声数据时非常有用。三角分解法（LU分解）是求解线性方程组的有效工具，它将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。 最后，笔记简要介绍了牛顿迭代法，这是一种寻找函数零点的迭代算法，通过不断线性逼近来逐步接近真正的根。 这份笔记全面地梳理了数值分析中的关键概念和技术，是复习和准备期末考试的宝贵资料。学习者可以通过这些内容深入理解数值计算的基本原理，并掌握在实际问题中应用这些方法的技巧。