二叉树算法解析：以二叉树表示算术表达式与顺序存储

"树与二叉树相关算法及应用" 在计算机科学中，树与二叉树是两种重要的数据结构，广泛应用于数据组织、算法设计和问题解决。它们为复杂问题的建模提供了便利，尤其在搜索、排序、编译器设计、文件系统等领域。 1. 二叉树表示算术表达式 二叉树可以用来表示算术表达式，其中每个节点代表一个操作数或运算符。这种表示方法称为中缀表达式（infix notation），其中运算符位于两个操作数之间。例如，二叉树可以表示如下表达式：`A + B * C`。根节点存储运算符，如加号`+`，左子树代表`B * C`，右子树代表`A`。通过后序遍历（postorder traversal）可以计算出表达式的值，因为后序遍历的顺序是左子树 -> 右子树 -> 根节点，恰好符合运算符优先级的规则。 ```c typedef struct node { ElemType data; float val; char oprtr; // 只取‘+’，‘-’，‘*’，‘/’ struct node* lchild, *rchild } BiNode, *BiTree; float PostEval(BiTree bt) { // ... } ``` 2. 顺序存储的二叉树 完全二叉树（complete binary tree）在顺序结构中存储时，所有节点从数组的第1个位置开始，按照层次顺序存放。对于非完全二叉树，需要添加“虚结点”以填充空缺，保持完全二叉树的性质。叶子结点的判定基于其左右子女的下标，如果不存在左右子女，即满足完全二叉树的叶子结点特性。 ```c int Leaves(int h) { // ... } ``` 3. 构建二叉树 递归是构建二叉树的一种常见方法，特别是在已知树的结构信息时。例如，通过前序遍历（preorder traversal）、中序遍历（inorder traversal）或后序遍历的序列，可以恢复二叉树的结构。此外，可以使用队列来辅助判断一个二叉树是否是完全二叉树，因为完全二叉树的一个特性是如果某个节点没有左子女，那么它不应该有右子女。 4. 完全二叉树的性质 完全二叉树是一种特殊的二叉树，其中除了最后一层外，每一层都被完全填满，并且所有的结点都尽可能地集中在左边。完全二叉树的一个重要性质是叶子结点和双亲结点的下标关系，可以通过这个关系快速查找特定结点的子结点。 总结，树与二叉树的概念及其在计算中的应用是计算机科学的基础。理解这些概念有助于解决复杂问题，比如解析和计算数学表达式、实现高效搜索算法、构建和操作数据结构等。同时，掌握如何在不同的存储结构中表示和操作二叉树，是成为一名熟练的程序员所必需的技能。